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Exponential-, Logarithmus- und logistische Funktionen
lineares oder exponentielles Wachstum

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Das
Problem
  

Wenn ihr die Daten eurer Recherche als Punktediagramm gestaltet habt, ist die entscheidene Frage, welche Funktion ihr zur Modellierung der Entwicklung benutzen solltet.

Zwei wichtige Modellierungsansätze sind dabei lineare und exponentielle Funktionen.
     

1. Versuch:

der optische Eindruck

 

Differenzen- und Quotienten-gleichheit

 

 

2. Versuch: rechnerische Überprüfung

  

Eigendlich ist es ja ganz einfach:

Die Graphen linearer Funktionen sind Geraden, während die Graphen der Exponentialfunktionen gekrümmt sind. Auch wenn die Daten zu realen Problemen fast nie genau auf den Graphen liegen, kann der Verlaiuf der Datenwolke uns häufig schon erste Entscheidungshilfen liefern.

Wenn ihr es genauer wissen wollt, müsst ihr euch erinnern, dass bei linearen Funktionen bei jedem Schritt nach rechts ein fester Betrag zum Funktionswert addiert bzw. subtrahiert wird. Man hat also immer dieselbe Differenz.

Bei Exponentialfunktionen kommt bei jedem Schritt nach rechts ein fester Prozentsatz dazu bzw. verschwindet. Man hat also in diesem Fall denselben Quotienten.

Wenn ihr also die Differenz und die Quotienten aufeinander folgender Funktionswerte berechnet, habt ihr ein rechnerisch ermitteltes Argument, um euch für eine der beiden Funktionstypen zu entscheiden. Aber Vorsicht: Ihr müsst dafür sorgen, dass die Abstände zwischen den x-Werten immer gleich sind.

     

Beispiele

  

Nachfolgend findet ihr einige Beispiele, wie das mit Excel bzw. Calc oder Geogebra aussehen könnte. Als Formeln sind jeweils in das erste Feld die Differenzen (=C2-C1) bzw. die Quotienten (D2/D1) eingetragen. Diese Formeln werden dann duch Ziehen mit gedrückter linker Maustaste an dem kleinen Quadrat unten rechts nach unten kopiert.

Beispiel 1 (Excel)          Beispiel 2 (Calc)           Beispiel 3 (Geogebra)

Aber auch dieses Kriterium ist nicht immer eindeutig. Was könnt ihr dann noch tun?

 

3. Versuch:

weitere Möglichkeiten

  

Die einfachste Möglichkeit ist zunächst mal, beide Modellierungen auszuführen und Aussagen zu treffen wie "Wenn ich einen linearen Zusammenhang annehme, dann wird ...."

Das zweite mathematische Kriterium ist komplizierter, wird aber von den benutzten Programmen automatisch berechnet. Die Modellierungen werden dort so vorgenommen, dass die Summe der Abstandsquadrate der Punkte vom Funktionsgraphen möglichst klein ist. Auf dieser Basis wird der Korrelations-koeffizient R oder sein Quadrat R^2 berechnet. Je näher der an 1 bzw. -1 liegt,  um so besser ist die Modellierung.

Im oben stehenden Beispiel seht ihr eine Exponentialfunktion durch den Anfangspunkt A. Für  die 4 Punkte b,C,D und E sind jeweils die Abstandsquadrate eingezeichnet.

4. Versuch:

ganz komfortabel, aber undurchsichtig

  

Excel bzw. Calc bieten ebenso wie Geogebra die Möglichkeit, Trendlinien einzuzeichnen. Dabei handelt es sich um nichts anderes als nach dem Prinzip der kleinsten Quadratsummen konstruierte Funktionsgraphen.

Eine Beschreibung der Verfahren findet ihr unter ../ma9076.htm (Excel) bzw. ../ma9476.htm (Geogebra). Mit zwei zusätzlichen Klicks kann man sich bei Excel bzw. Calc sowohl den Funktionsterm als auch den Korrelationskoeffizienten anzeigen lassen.

Bei Geogebra findet man den Funktionsterm automatisch im Algebrafenster. Den Korrelationskoeffizienten muss man zusätzlich berechnen lassen: KorrelationsKoeffizient[Liste1]. Dabei ist Liste1 die Liste der Punkte. Er bezeiht sich nur auf eine lineare Trendgerade.

Beispiele dazu findet ihr ebenfalls in den oben verlinkten Beispielen.
     
 
     

Ideen für mögliche, selbstorganisierte
Übungen:

 
  • Prüft eure Datensätze auf Differenzen- und Quotientengleichheit
  • ....
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