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Abbildung
Mit der Abbildungsgeometrie
ist der Mathematiker Felix Klein
(1849 - 1925) eng verbunden.
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Um den grundlegenden Begriff
einer Abbildung erklären zu können müssen
eine Originalmenge (Menge von Originalpunkten)
A und eine Bildmenge (Menge von
Bildpunkten) B gegeben sein.
Unter einer Abbildung von A in B versteht
man eine Vorschrift, die jedem Element aus A (jedem
Originalpunkt) eindeutig ein bestimmtes
Element aus B (ein Bildpunkt) zuordnet. |
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Über
Felix Klein siehe:
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Funktion
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Der Abbildungsbegriff ist so allgemein, dass
er auch den Begriff der Funktion umfasst: Eine
Funktion f weist jedem Element
einer Definitionsmenge A (einem "x-Wert") genau
ein Element einer Zielmenge B (einen "y-Wert")
zu.
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Abbildungsgeometrie
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In der Abbildungsgeometrie
werden geometrische Abbildungen daraufhin untersucht,
welche Eigenschaften geometrischer Objekte bei einer
Abbildung unverändert (invariant) bleiben.
Zur Abbildungsgeometrie gehören u.a. die in
der Folge beschriebenen Kongruenzabbildungen und
Ähnlichkeitsabbildungen.
Formal können Kongruenz- und Ähnlichkeitsabbildungen
als Abbildungen der Zeichenebene oder des Raumes
in sich selbst definiert werden. |
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Kongruenzabbildung
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Unter einer Kongruenzabbildung (von lat. congruens
= übereinstimmend, passend) versteht man
eine geometrische Abbildung, bei der Form und
Größe der abgebildeten Objekte gleich
bleiben. Eine Kongruenzabbildung lässt die
Entfernung zweier Punkte und die Winkelgrößen
unverändert (invariant). Geraden werden auf
Geraden und Winkel auf Winkel abgebildet. Beispiele
für Kongruenzabbildungen sind:
- Achsenspiegelung
- Punktspiegelung
- Drehung
- (Parallel-)Verschiebung (Translation)
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Ähnlichkeitsabbildung
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Jede Abbildung, die man durch Hintereinanderausführung
(Verkettung) von Kongruenzabbildungen und zentrischen
Streckungen erhält, ist eine
Ähnlichkeitsabbildung.
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