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Koordinaten und Koordinatensystem
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Mit Hilfe von Koordinaten lassen sich Punkte
in einem Koordinatensystem durch
Angabe von reellen Zahlen (auch Koordinaten genannt)
eindeutig bestimmen. Mittels mehrerer Punkte lassen
sich auch Geraden, Abstände, Ebenen und Körper
angeben.
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Vektoren
in der Ebene
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Gleichwertig zu Punkten ist der Ortsvektor
des Punktes. Er stimmt mit den Koordinaten des Punktes
(meist untereinander geschrieben) überein. |
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Vektoren
im dreidimensionalen (euklidischen) Raum
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Die Anzahl der zur Beschreibung notwendigen
reellen Zahlen entspricht der Dimension des Raumes
(oft als n abgekürzt). Man fasst die
Koordinaten eines n-dimensionalen Raumes
dann auch als ein n-Tupel von Koordinaten
auf. Der Punkt, bei dem alle Koordinaten den Wert
0 annehmen, nennt man den Koordinatenursprung. |
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Bei den Koordinatensystemen unterscheidet man
zwischen geradlinigen (affinen) und krummlinigen
Koordinatensystemen. Stehen die Achsen des Koordinatensystems
aufeinander senkrecht (und sind beide Achsen gleich
geeicht), so spricht man von einem kartesischen
Koordinatensystem. Ein solches ist notwendig,
wenn Abstände oder Winkel berechnet werden
sollen.
Rene
Descartes (1596 - 1650)
Als eine wichtige Entdeckung hat Descartes seine
'mathesis universalis' (Buchstabenalgebra) angesehen.
Sie wurde von ihm als universale Grundlage aller
Wissenschaften aufgefasst. Descartes ist der Wegbereiter
der analytischen Geometrie, mit der er den entscheiden-
den Schritt zur Einführung der mathematischen
Formelsprache in die Physik ging.
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Analytische
Geometrie
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Die analytische Geometrie ist
ein Teilgebiet der Geometrie, das algebraische
Hilfsmittel zur Lösung geometrischer Probleme
bereitstellt. Sie ermöglicht es in vielen
Fällen, geometrische Aufgabenstellungen rein
rechnerisch zu lösen. So können etwa
die Schnittpunkte von Geraden oder der Schnittpunkt
einer Geraden mit einer Ebene oder die Schnittgerade
zweier Ebenen algebraisch bestimmt werden oder
die Parallelität von Geraden oder Ebenen
nachgewiesen werden.
Auch in der Physik und anderen Naturwissenschaften
werden Verfahren der analytischen Geometrie eingesetzt,
etwa bei der Beschreibung von Planetenbahnen.
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Beschreibung
von Geraden
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Geometrische Gebilde wie Geraden, Kreise usw.
werden durch Vektor-Gleichungen beschrieben. Dabei
handelt es sich heute in der Regel um Parametergleichungen
wie etwa die folgenden für eine Gerade in
der Ebene oder im Raum:
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Beschreibung
von Ebenen
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Geometrische Gebilde wie Geraden, Ebenen, Kreise
und Kugeln usw. werden durch Vektor-Gleichungen
beschrieben. Dabei handelt es sich heute in der
Regel zunächst um Parametergleichungen wie
die zuvor ausgeführten.
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