Definitionen

Unter der Halbwertzeit versteht man den Zeitraum, in dem die Hälfte einer ursprünglich vorhandenen Masse eines radioaktiven Elements zerfallen ist.

Für echte exponentielle Zerfallsprozesse ist dieser Zeitraum unabhängig von der Anfangsmasse immer gleich. Daraus kann man auch schließen, dass nach 2 Halbwertzeiten nur noch ein Viertel der ursprünglichen Masse vorhanden ist. Entsprechende Überlegungen kannst du für 5 , 10, ... Halbwertzeiten anstellen.

Um zu einer bekannten Halbwertzeit t den entsprechenden Zerfallsfaktor q zu berechnen, löst man die Gleichung: 0,5a = a q^t bzw. 0,5 = q^t nach q auf. Dazu zieht man die t. Wurzel aus 0,5.

Um aus dem Zerfallsfaktor die Halbwertzeit zu berechnen, löst man die obige Gleichung nach t auf. Dazu logarithmiert man beide Zeiten der Gleichung und erhält nach dem dritten Logarithmengesetz:

log(0,5) = t * log(q).

Die Verdoppelungszeit ist eine charakteristische Größe für exponentiell verlaufende Wachstumprozesse. Man versteht darunter den Zeitraum, in dem sich der Anfangswert gerade verdoppelt.

Auch sie ist unabhängig von der Größe des Anfangswertes, so dass man auch daraus ableiten kann, dass sich eine Größe nach zwei Halbwertzeiten vervierfacht hat usw.

Vorsicht: Bei realen Prozessen ist allerdings nicht zu erwarten, dass diese über lange Zeiträume tatsächlich exponentiell verlaufen. Hier müsste man bei den entsprechenden Berechnungen immer den Satz vorausschicken: "Wenn die Entwicklung so weitergeht, dann ...."

Um zu einer bekannten Verdoppelungszeit t den entsprechenden Wachstumsfaktor zu berechnen, löst man die Gleichung 2a = a q^t bzw. 2 = q^t nach q auf. Weiter geht's wie oben bei der Halbwertzeit.

• Hier könnt ihr die GeoGebra-Datei HWZ_schätzen.ggb herunterladen, in der ihr zunächst eine bestimmte Exponentialfunktion einstellen und durch Verschieben des Punktes A die Halbwert- bzw. Verdoppelungszeit herausbekommen könnt.

• Sucht euch selbst Beispiele zum radioaktiven Zerfall oder zum Bevölkerungswachstum. Berechnet aus den Halbwert- oder Verdoppelungszeiten die entsprechenden Faktoren q und umgekehrt.