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Wortmodell:
Räuber-Beute
von Raubmilben und Spinnmilben
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In einer Gurken-Plantage vermehren sich Spinnmilben. Für sie gibt es genügend Nahrung in Form von Gurkenblättern. Dann aber werden Raubmilben ausgesetzt, die die Spinnmilben fressen. Die Raubmilben vermehren sich und fressen immer mehr von ihrer eigenen Nahrung. So kommt es für die Raubmilben zu einer "Hungerzeit". Dann werden sie in der Anzahl abnehmen. Genau dies aber bedeutet dann für die Spinnmilben, dass sie sich langsam wieder vermehren können (falls noch genügend Gurkenblätter da sind). |
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Wirkungsdiagramm |
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Beschreibungen zum Wirkungsdiagramm |
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Das Wirkungsdiagramm zeigt zwei Diagramme zum ungebremsten Wachstum, eins für die Raubmilben und eins für die Spinnmilben. Aber diese beiden Diagramme sind miteinander gekoppelt. Die zunehmende Anzahl der Spinnmilben wirkt positiv auf die Geburtenzahl der Raubmilben. Je mehr Nahrung die Raubmilben vorfinden, desto stärker werden sie sich vermehren. Und die Anzahl der Raubmilben wirkt positiv auf die Sterbezahl der Spinnmilben. Denn je mehr Raubmilben leben, desto mehr Spinnmilben werden sterben oder desto größer wird die Sterbezahl der Spinnmilben sein. |
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Analyse der wirkenden
Zustands- und Flussgrößen |
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Zur quantifizierten Beschreibung des Wachstums von Spinnmilben und Raubmilben (hierzu siehe: Dynamische Modelle zur Bevölkerungsentwicklung) kommen nun die Wirkungen aufeinander hinzu.
Einerseits wirken die Spinnmilben über einen Nahrungsfaktor auf die Raubmilben_Geburten. Der Faktor N quantifiziert dabei den Anteil der Spinnmilben, die jeweils Nahrung sind.
Andererseits wirken die Raubmilben über einen Fressfakor auf die Spinnmilben_Todesfälle. Der Faktor F quantifiziert dabei den Anteil von Spinnmilben, der jeweils gefressen wird.
S Spinnmilbe und R Raubmilbe sind die Zustandsgrößen. SG Spinnmilbengeburt; RG Raubmilbengeburt; ST Spinnmilbentod und RT Raubmilbentod sind die Flussgrößen. gsp = Geburtenrate Spinnmilben gr = Geburtenrate Raubmilben; ssp = Sterberate Spinnmilben und sr = Sterberate Raubmilben sind die Parameter. |
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Ein mögliches Flussdiagramm
zur Dynamik
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Zustandsgleichungen
und weitere Modellgleichungen zum Räuber-Beute-Modell |
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Die folgenden zwei Zustands- und vier weiteren Modellgleichungen entwickeln wir aus dem Flussdiagramm unter Berücksichtigung eines Zeittaktes zwischen Zustand_neu und Zustand_alt. Alle Anfangsgrößen, Raten und Faktoren belegen wir mit Zahlen.
S_neu <-- S_alt + Δt · (SG - ST);
Anfangsgröße: S = 100;
Δt = 0,5; (Zeittakt = 1 Tag mit 12 „hellen“ Tagesstunden)
R_neu <-- R_alt + Δt · (RG - RT);
Anfangsgröße: R = 70;
Δt = 0,5; (Zeittakt = 1 Tag mit 12 „hellen“ Tagesstunden) SG = gsp · S
ST = ssp · S · R · F
gsp = 0,35; ssp = 0,17; F = 0,01
RG = gr · R · S · N
RT = sr · R
gr = 0,22; sr = 0,11; N= 0,005
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Programmierung in einer
Excel-Tabelle |
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Die Zustandsgleichungen und Modellgleichungen werden in einer Excel-Mappe programmiert.
Siehe hierzu:
ExcelDateien/Mappe1918f.htm (zur Ansicht) oder ExcelDateien/Mappe1918f.xls (herunterladbar und interaktiv)
oder:
ExcelDateien/Mappe1918g.htm (zur Ansicht) oder ExcelDateien/Mappe1918g.xls (herunterladbar und interaktiv) |
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Ergebnis eines Simulationslaufes
Die nebenstehende Simulation passt zu den oben gegebenen Anfangsgrößen, Raten und Faktoren sowie für die ersten 76 Tage:
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Verhaltensbeschreibung
des Modells |
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Mehrere Simulationen des Modells erlauben die folgende Verhaltensbeschreibung des Modells:
Nur wenige ausgesetzte Raubmilden (Einzehntel der Spinnmilben-Population) dezimieren die Spinnmilben in relativ kurzer Zeit. In dem von uns experimentierten Fall sind die Spinnmilben, die sich zunächst stark vermehren, nach nahezu einem Monat komplett beseitigt. Zwar leben dann sehr viele Raubmilben, die aber den Pflanzen bis zur Ernte in einem weiteren Monat nicht schaden. Und die Raubmilben sterben bis dahin auch quasi von selbst aus. Sie haben keine Nahrung mehr.
Würden nach zwei Monaten die Pflanzen aber nicht geerntet, so würden sich die Spinnmilben wieder vermehren. Der dargestellte Wachstums-Prozess würde sich mit anderen Maxima und Minima für die Spinnmilben und Raubmilben wiederholen. Beide Arten überleben! |
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Ideen für mögliche, selbstorganisierte
Übungen: |
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- Vollzieht die Erstellung der Zustands- und Modellgleichungen nach.
- Simuliert das obige Modell für verschiedene Anfangsgrößen und Parameter und insbesondere für unterschiedliche Fress- und Nahrungsfaktoren.
- Diskutiert den Zweck und die Grenzen dieses Modells und insbesondere auch, wie sich realistische Parameter für unterschiedliche Zwecke finden lassen.
- Begründet etwa die folgenden Feststellungen:
1. Das Modell ist für Delta t, die Raten, die Faktoren und die Anfangsgrößen nur in gewissen Intervallen mathematisch deutbar. Außerdem sind die Intervallgrenzen auch noch voneinander abhängig. Erhöht man z.B. eine Geburtenrate in extremer Weise, so hat das Einfluss auf fast alle anderen Werte.
2. Für Delta t, die Raten, die Faktoren und die Anfangsgrößen gibt es Zahlen, bei denen das Modell relativ stabile mathematische Deutungen zulässt. Diese sind aber eine notwendige Voraussetzung für eine Interpretation in die Realität. Solche Werte für die Größen, bei denen das Modell relativ stabil reagiert, werden auch als robust bezeichnet. Robuste Werte können mittels abschätzender Berechnung (etwa für die Geburten- und Sterberaten) aber auch mittels Simulationen (etwa für die Anfangsgrößen, Nahrungs- und Fressfaktoren) gefunden werden.
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