am Beispiel
des realen Problems

Beschreibung des Unterrichtsverlaufs

1. UStd:
Diskussionen zum realen Problem sowie Wahrnehmung der Sachinformationen zum realen Problem (in der Klasse und dann in spontan gebildeten Kleingruppen)

2. UStd:
Entwicklung von Fragen durch Diskussion des realen Problems;
Sammlung der Fragen, die Schülerinnen und Schüler bearbeiten möchten;
Entscheidung der Schülerinnen und Schüler für die Bearbeitung eines Fragenbereiches;
Bildung von "interessengleichen" Kleingruppen auf der Basis der Entscheidungen

3. bis 6. UStd:
Mathematische Modellierungsarbeiten an den selbst gewählten Fragen in "interessengleichen" Kleingruppen;
sachangemessene und kontextbezogene Interpretation der Ergebnisse der mathematischen Modellierung;
Erstellung einer Präsentation

7. und 8. UStd:
Präsentation der Kleingruppen-Ergebnisse in der Klasse und Diskussion der Ergebnisse im Sachzusammenhang des realen Problems

9. und 10. UStd:
Systematisierung der zur Modellierung genutzten Mathematik; in diesem Fall Einführung der linearen Funktion

11. und weitere UStd:
Übungen und Anwendungen der linearen Funktion in anderen Wirklichkeits-Kontexten

Die Lehrperson führt in eine Diskussion des realen Problems ein. Dabei verweist sie die Schülerinnen und Schüler auch auf die aufbereiteten Sachinformationen zu diesem realen Problem. Sodann erteilt sie folgende Arbeitsaufträge:

1. Setzt die begonnene Diskussion in spontan gebildeten Kleingruppen fort, notiert das für euch Wichtige. Lasst euch in euren Diskussionen unterstützen durch:
   a) eine mögliche Bild-Diskussion oder durch eine Geschichte zum Thema
   b) angeleitete Blicke auf eine Vielfalt von "Glaspalästen" sowie auf eine effiziente Nutzung von Energie im Privaten und in der Industrie.
2. Legt ein Projektheft (eine Projektmappe) an, in dem ihr alle benutzen "Arbeitsblätter" abheftet und alle weiteren Ergebnisse aufschreibt. Notiert auch, was euch im Verlauf des Unterrichts insbesondere betroffen macht, was euch gefallen oder nicht gefallen hat sowie das, was euch Schwierigkeiten im Verständnis bereitet hat.

Die Seiten (Bilddiskussion und Blicke auf...) können als "Arbeitsblätter" ausgedruckt werden. Schülerinnen und Schüler können dann das für sie Wichtige unterstreichen oder hervorheben. Die Seiten können aber auch am Computer gelesen werden. Dann erfolgen die Notizen im Projektheft oder in den selbst ausgedruckten Seiten. Auf diese Weise können und sollen die persönlichen Interessen zur Bearbeitung einer bestimmten Frage geweckt werden.
Diese Eingangdiskussion sollte in jedem Fall stattfinden, damit erstens die späteren mathematischen Modellierungsarbeiten im Problemkontext interpretiert und zweitens auch die Diskussionen nach den Kleingruppen-Präsentationen durch die Jugendlichen in einem Problemzusammenhang geführt werden können.

Die Formalisierungen zur linearen Funktion erfolgen erst in der neunten Unterrichtsstunde. Das ist für Mathe-Lehrpersonen ungewohnt !!! Aber: Die Systematisierungen zur linearen Funktionen erfolgen dann so, dass zuvor bereits Wertetafeln und Grafen selbstreguliert bei der Modellierung genutzt worden sind. Vor der Systematisierung und Formalisierung haben die Schülerinnen und Schüler bereits die Erfahrung gemacht, dass diese Darstellungsform einen Zweck hat. Nämlich den: Sie dient dem Erkenntnisgewinn in realen Zusammenhängen, der handlungsleitende (emanzipatorische) Ziele verfolgt.
Die "Anwendungssituation" dient also nicht nur dazu (wie es häufig in Schulbüchern geschieht) für eine kurze Zeit zu motivieren.

In den Kleingruppen, die sich spontan in der ersten Unterrichtsstunde gebildet haben, wird die begonnene Diskussion für etwa 25 Minuten fortgesetzt, etwa mit dem Arbeitsauftrag:

1. Diskutiert miteinander, welche Fragen sich bei diesem realen Problem ergeben und schreibt dann diejenigen Fragen auf, die euch ganz persönlich interessieren. Lasst euch unterstützen durch die Seite: Glaspaläste: Licht durchflutet und Wärme effizient? Energieeffizienz in Industrie und im Privaten?

• Beispiel: Stand-by
• Beispiel: Glühlampen - Energiesparlampen

Denn diese beiden Analysen geben in der später folgenden Systematisierungsphase den Anlass, die lineare Funktion zu formalisieren. Hier ist also Beratungsaufwand durch die Lehrperson notwendig. Aber es ist wahrscheinlich möglich, den Jugendlichen einer Klasse 8 verständlich zu machen,

• dass die dynamischen Modellierungen für höhere Jahrgänge gedacht sind,
• dass die Versuchsanordnungen zur Wärmedämmung eigenaktiv (ggf. unter Hilfestellung des Physiklehrers oder der Pysiklehrerin) erstellt werden sollen und
• dass in diesem Kontext auch eine Befragung zur Akzeptanz von Energieeffizienz im Privaten sinnvoll ist..

Werden die Versuche zur Wärmedämmung (etwa in einer oder mehreren Kleingruppen) durchgeführt, so ist die grafische Auswertung der Messergebnisse in der Präsentationsphase hoch willkommen, da dann die Linearität als ein besonderer, spezieller Fall (von funktionalen Zusammenhängen) sowohl erkannt (gesehen) als auch verständlich gemacht werden kann.

1. Arbeitet in den nächsten vier Mathe-Stunden und auch Zuhause selbstreguliert (eigenaktiv, selbstständig, selbstorganisiert und selbstverantwortet) an den Fragen, die ihr zuvor ausgewählt habt. Für euch passende Anforderungen finden die Kleingruppen unter:
   KG 1: Gestaltet Versuchsreihen zur Wärmedämmung in "Glaspalästen" und wertet sie aus
   KG 2 und KG 3: Analysiert eine effiziente Energieausnutzung im Privaten durch stand by und durch Glühlampen kontra Energiesparlampen
   KG 4: Führt eine Befragung zur Akzeptanz von Energie-Effizienz im privaten Bereich durch und wertet sie aus
   Auf diesen Seiten, auf denen ihr die Anforderungen findet, findet ihr auch mathematische Hilfen (in der rechten Spalte der Seite) und Hilfen zum Sachverhalt (eingebaut in die Anforderungen).
2. Ich werde euch bei eurer Arbeit beobachten (und ggf. bewerten, wie ihr euch in euren Kleingruppen gegenseitig helft und wie ihr miteinander kommuniziert und kooperiert). Wenn ihr aber nach einer eingehenden Beratung in eurer Kleingruppe mit eurer Arbeit nicht mehr weiter kommt, so berate ich euch auf Anfrage hin.
3. Stellt eure Modellierungsergebnisse (Arbeitsergebnisse) in euren Projektheften dar. Nutzt dabei die euch bisher bekannte Mathe, (er)findet aber auch neue hinzu.
4. Interpretiert die Ergebnisse sachangemessen im Kontext des gesellschaftlich bedeutungsvollen Problems der „Energieeffizienz“ und schreibt sie auf.
5. Erstellt in eurer Kleingruppe eine Präsentation sowohl für die Modellierungsergebnisse als auch für die Interpretation. Hilfen findet ihr unter "Anregungen zur Präsentation der Arbeitsergebnisse" auf der Eingangsseite des realen Problems.

• dass Jugendliche ihre Fragen mit der bis dahin bekannten Mathe (sowie der selbstständig hinzu erfundenen Mathe) mathematisch modellieren können,
• dass sie ihre Arbeit selbst organisieren und selbst verantworten (begründen) können,
• dass sie eine ansprechende Präsentation erarbeiten und dann auch halten können (eine Präsentation, die ggf. auch in der Klasse ausgehangen werden kann),
• dass sie Kommunikations- und Kooperationsregeln einhalten können (das ist eine Grundlage der Teamfähigkeit).

Werden die prozessorientierten (oder allgemeinen) mathematischen Kompetenzen bewertet, so sollten die Jugendlichen dies vor ihrer Arbeit wissen.
An dieser Stelle sei darauf verwiesen, dass prozessorientierte Kompetenzen nur in einem komplexeren Arbeits- oder Lern-Prozess angebahnt und gelernt werden können. Diese Kompetenzen lassen sich kaum didaktisch kleinschreiben.

Wahrscheinlich muss die Lehrperson schon ab dem Ende der zweiten selbstregulierten Arbeitsstunde immer wieder darauf hinweisen, dass eine Präsentation vor der Klasse zu halten ist. Und dass die Arbeiten nach der vierten selbstregulierten Arbeitsstunde beendet sein müssen.

Soll diese Präsentation von der Lehrperson bewertet werden, so muss dies vorher mitgeteilt werden.

Während der Modellierungsphase übernimmt die Mathematiklehrerin bwz. der Mathematiklehrer in Sachfragen in der Regel die Rolle eines kompetenten Laien.
Für Lehrpersonen kann es bei der Unterrichts-Vorbereitung auch hilfreich sein, sich die mögliche Lösung zu: Analysen zur Energieeffiziens am Beispiel der Kosten und des Energieumsatzes bei Glüh- und Energiesparlampen anzusehen. Aber diese Lösung geht davon aus, dass die lineare Funktion bereits bekannt ist.

1. Jede Kleingruppe stellt ihre Arbeitsergebnisse vor der Klasse so vor, dass alle anderen in der Klasse sie auch verstehen und nachvollziehen können. Also: Lasst immer genügend Zeit, damit die Anderen sich auch Notizen in ihrem Projektheft machen können. Hetzt nicht durch euren Vortrag.
2. (Ggf.: Ich habe vor, die Präsentation zu bewerten.)
3. Jede Kleingruppe beleuchtet in ihrem Vortrag das Problem der Energieeffizienz unter einem anderen Gesichtspunkt. Alle diese hängen aber, wie wir in der Eingangsdiskussion des Problems bereits festgestellt haben, irgendwie miteinander zusammen. Und genau das wollen wir gemeinsam diskutieren, nachdem alle Vorträge gehalten worden sind. So wollen wir erreichen, dass es nicht bei der Summe (Addition) der Einzelbeiträge bleibt, sondern die Diskussion ein neues Ganzes erwirkt.
4. In einem abschließenden Gespräch wollen wir auch noch klären, welchen Wert eine arbeitsteilige Arbeit innerhalb eines Teams hat.

Auch das Präsentieren-Können ist eine wichtige prozessorientierte (allgemeine) mathematische Kompetenz. Die Erstellung kostet Zeit!

Die Jugendlichen sollen durch die Gesamtheit der Präsentationen zur Erkenntnis von Zusammenhängen gelangen, deren Bewertungen für ihr eigenes gesellschaftliches Handeln bedeutungsvoll sein können (emanzipatorische Kompetenzen!). Sie können die mathematische Modellierung als eine Erkenntnishilfe zur Bewertung des Problems erleben. Mathe bekommt einen anderen Sinn als nur und lediglich ihren Selbstzweck.
Alle Kleingruppen können bei den Präsentationen erleben, wie die Modellierung ihres Teilbereiches in eine vollständigere Modellierung des realen Problems eingebettet ist.
Die Jugendlichen können so erleben, dass arbeitsteilige Teamarbeit produktiv ist und keine „Zeit“ verschwendet.

Nach diesen 3 Wochen (bei drei Mathestunden pro Woche) sollte in der Regel keine Klassenarbeit geschrieben werden. Zu Beginn der projektorientierten Unterrichtsphase sollte mit den Jugendlichen vereinbart werden, was zur Leistungsbewertung am Ende herangezogen wird (z.B. die Projektmappe, die Präsentation, die Beobachtungen zum Arbeits- und Sozialverhalten ...). Soll aber eine Klassenarbeit geschrieben werden, dann bieten sich nur Aufgaben an, die auch das zuvor Gelernte abprüfen. Solche Aufgaben sind zu finden unter:

• Erörterung möglicher Lösungen zu realen Problemen und (Test)Aufgaben zur kompetenzorientierten Diagnose
  (Anmerkung: die Anzahl der Aufgaben wird ständig erweitert.)

Die Lehrerin oder der Lehrer lenkt den Blick der Schülerinnen und Schüler:

• auf die Präsentationen der Schülerinnen und Schüler zur Analyse der Energieeffizienz im Privaten:
  Beispiel: Stand-by und
  Beispiel: Glühlampen - Energiesparlampen sowie
• auf die grafischen Präsentationen zur Versuchsreihe zur Wärmedämmung in "Glaspalästen"
  
  [und ggf. zur Verstärkung auch auf die mögliche Lösung zu: Analysen zur Energieeffiziens am Beispiel der Kosten und des Energieumsatzes bei Glüh- und Energiesparlampen
  (Anmerkung: Diese Lösung geht aber davon aus, dass die lineare Funktion bereits systematisiert worden ist.)]

In fragend-entwickelnder Form werden dann an den grafischen Darstellungen etwa die folgende Besonderheiten linearer Zusammenhänge herausgearbeitet:

• die Wertepaare (Punkte) zur Berechnung der Energiekosten bei Glüh- oder Sparlampen liegen, falls man sie verbindet, auf einer Geraden,
• die Wertepaare (Punkte) zur Berechnung des Energieverbrauchs ....
• ......
• aber die Messergebnisse (Punkte) zur Wärmedämmung liegen, falls man sie verbindet, auf einer "Kurve".

Also: Die Gerade ist etwas Besonderes. Und das werden wir nunmehr formalisieren, damit wir bei weiteren Untersuchungen hierzu eine gemeinsame Sprache haben. ....

Der Unterricht in der Systematisierungsphase wird fragend-entwickelnd weitergeführt. Entweder kann jetzt das eingeführte Schulbuch genutzt werden oder es können die folgenden Ausarbeitungen genutzt werden:

• Versprachlichung von linearen Abhängigkeiten und Zusammenhängen
• Lineare Abhängigkeiten
• Lineares Wachstum
• Lineare Funktionen - Systematisierungen

Eine Übersicht über die Bündelung aller mathematischen Hilfen zur linearen Funktion und zum Schlussrechnen siehe:

• Schlussrechnen und lineare Funktionen

Für die notwendigen Übungen zur linearen Funktion und zur Anwendung der linearen Funktion in anderen Anwedungskontexten wird insbesondere verwiesen auf:

• Anwendung der linearen Funktion im "herkömmlichen" Unterricht am Beispiel des realen Problems "Machtlos gegen Gewalt?"

Im Weiteren wird verwiesen auf:

• (Didaktisch-methodische) Erörterung von Lösungen zur Anwendung der linearen Funktion in anderen Anwendungskontexten
  (Übersichtsseite; z.Zt. gibt es fünf Beispiellösungen; weitere werden noch folgen.)
• Test-Aufgaben zur kompetenzorientierten Diagnose zu linearen Funktionen
  (Das Angebot auf dieser Seite wird ausgebaut. Die Aufgaben sind auch in Klassenarbeiten nutzbar.)
• Übersicht: Weitere reale Probleme, die auch mit linearen Funktionen modelliert werden können
• Projektidee: Energiehunger! = Klimawandel?