am Beispiel
des realen Problems

Stunden- bzw. Unterrichtsablauf

1. UStd:
Einführende Diskussionen zum realen Problem; Entscheidung insbesondere für die Bearbeitung einer einer dynamischen Modellierung

2. bis 5. UStd:
Dynamische Modellierungsarbeiten an ausgewählten Aufgaben; sachangemessene Interpretation der mathematischen Ergebnisse; Erstellung einer Präsentation

6. und 7. UStd:
Präsentation der Kleingruppen-Ergebnisse in der Klasse, Diskussion aller Ergebnisse im Sachzusammenhang des realen Problems

Die Lehrkraft führt mit der Klasse ein Gespräch ( Diskussion) zum realen Problem des Klimawandels auf der Erde. Dabei wird sie unterstützt:

• durch eine mögliche Bild-Diskussion und/oder durch kurze anregende Texte oder/und
• durch einige "Blicke" auf das komplexe Klimaproblem

Für den Rest der ersten Stunde erhalten die Jugendlichen die folgenden Arbeitsaufträge:

1. Setzt euch auseinander mit den Anforderungen auf den Seiten:
   a) Analysiert die Energie"gewinnung" u.a. aus fossilen Energieträgern und deren globale Klimafolgen
   b) Konstruiert/simuliert unterschiedliche Szenarien für einen Ausweg aus der Klimakatastrophe
2. Entscheidet euch für eine der möglichen Analyse- oder Konstruktionsarbeiten.
3. Bildet auf der Grundlage eurer Entscheidung arbeitsteilige Kleingruppen oder Partnergruppen.
4. Legt eine Arbeitsmappe an. Skizziert, warum es für euch eine wichtige Kompetenz sein kann, dynamische Wechselwirkungen modellieren zu können. Haltet aber auch fest, welche Schwierigkeiten ihr dabei jetzt noch habt.

Die genannten Seiten können auch als "Arbeitsblätter" ausgedruckt werden. Jugendliche können dann das für sie Wichtige unterstreichen oder hervorheben. Die Seiten können aber auch am Computer gelesen werden. Dann erfolgen die Notizen in der Arbeitsmappe oder in den eigenständig ausgedruckten Seiten.

Auf diese Weise kann und soll eine persönliche Betroffenheit geweckt werden, dass neben einer funktionalen Analyseaufgabe insbesondere auch eine dynamische Konstruktionsaufgabe gewählt wird. Gegebenenfalls muss die Lehrperson durch Beratung mit dafür sorgen.

Die Eingangdiskussion in das reale Problem muss in jedem Fall stattfinden, damit erstens die folgenden mathematischen Modellierungsarbeiten im Problemkontext interpretiert werden können und zweitens auch die Diskussionen nach den Kleingruppen-Präsentationen durch die Jugendlichen in einem Problemzusammenhang geführt werden können.

Die Jugendlichen arbeiten auch schon in dieser 1. UStd., so weit es geht, selbstreguliert. Sie wiederholen ggf. die Grundlagen zur dynamischen Modellierung. Dazu stehen ihnen hinreichend viele mathematische Hilfen zur Verfügung.

Die Jugendlichen haben bereits im bisherigen Unterricht die Erfahrung gemacht, dass funktionale (als auch dynamische) Modellierungen einen Zweck haben: Sie dienen dem Erkenntnisgewinn in realen Zusammenhängen, der handlungsleitende (emanzipatorische) Ziele verfolgt.

Die von der Lehrkraft beratenen (ausgewählten) Analyse- und Konstruktions-Anforderungen führen zu den folgenden Arbeitsaufträgen:

1. Arbeitet in den nächsten vier Mathe-Stunden und auch Zuhause selbstreguliert (d.h. selbstständig, selbstorganisiert und selbstverantwortet) an den Aufgaben, für die ihr euch zuvor entschieden habt.
   Kleingruppe(n) 1:
   Konstruktion und Simulation von Wechselwirkungen zwischen Bevölkerung, Energieumwandlung und Kohlendioxid
   Kleingruppe(n) 2:
   Analysen zur Energiegewinnung und zum "globalen" Energieumsatz
   Kleingruppe(n) 3:
   Analysen zum Ausstoß von Kohlendioxid und zur globalen Veränderung des Klimas
2. Nutzt bei den Modellierungsarbeiten die euch gegebenen mathematischen Hilfen zur funktionalen und dynamischen Modellierung.  
3. Ich werde euch bei eurer Arbeit beobachten, wie ihr euch in euren Kleingruppen gegenseitig helft und wie ihr miteinander kommuniziert und kooperiert. Wenn ihr aber nach einer eingehenden Beratung in eurer Kleingruppe mit eurer Arbeit nicht mehr weiter kommt, so berate ich euch auf Anfrage hin.
4. Stellt eure Arbeitsergebnisse in euren Arbeitsheften dar.
5. Interpretiert eure Ergebnisse im Kontext des gesellschaftlich bedeutungsvollen Problems der Klimaänderungen auf unserer Erde.
6. Erstellt in eurer Kleingruppe eine Präsentation sowohl für die Arbeitsergebnisse als auch für die Interpretation. Hilfen findet ihr unter "Anregungen zur Präsentation der Arbeitsergebnisse" auf der Eingangsseite des realen Problems.

Wiederum können die Seiten mit den Anforderungen ausgedruckt werden. Sie können auch nach Word exportiert werden und auf die Anliegen der Kleingruppen hin umgestaltet werden. In der rechten Spalte der Anforderungsseiten finden die Jugendlichen anklickbare mathematische Hilfen.
Sobald aber die funktionalen und dynamischen Modellierungsarbeiten beginnen oder bestimmte Sach-Informationen oder mathematischen Hilfen gebraucht werden, ist eine Arbeit am Computer notwendig. Simulationen sind z.B. ohne Computer nicht möglich.

Die Schülerinnen und Schüler wenden die ihnen bis dahin bekannte Mathematik an, erfinden ggf. auch neue hinzu. Wichtig ist es aber, den Kontext zum Thema im Kopf zu behalten. Die benannten Kleingruppen 1, 2 und 3 können mehrfach vorkommen. Es bietet sich auch Partnerarbeit an, wobei ein "kompetenter" Jugendlicher einen weniger kompetenten berät und fördert.

Die Lehrperson coacht die Modellierungsarbeit. Sie sollte sich daher unbedingt alle anklickbaren Sachinformationen und alle mathematischen Hilfen zum realen Problem ansehen. Das ist wichtig, um den Kleingruppen, die irgendwo stecken bleiben, Tipps geben zu können. Sie sollte sich aber auch die beiden ausgearbeiteten möglichen Lösungen ansehen:

• zur Analyse des Ausstoßes von CO2 und zur globalen Veränderung des Klimas
• zur Konstruktion und Simulation von Wechselwirkungen zwischen Bevölkerung, Energiegewinnung und Kohlendioxid

Diese Lösungen zeigen, was ggf. von den Kleingruppen erwartet werden kann oder sollte.
Unbedingt sollte sich die Lehrperson auch alle anklickbaren mathematischen Hilfen zur Einführung in die dynamische Modellierung ansehen.

In dieser Anwendungsphase geht es also neben inhaltlichen mathematischen Kompetenzen auch um allgemein mathematische Kompetenzen. Sie können ebenfalls mit in die Bewertung der Jugendlichen eingeschlossen werden. Dann sollten die Jugendlichen dies aber vorher wissen. An dieser Stelle sei darauf verwiesen, dass allgemein mathematische Kompetenzen nur in einem komplexeren Arbeits- oder Lern-Prozess angebahnt und gelernt werden können. Diese Kompetenzen lassen sich kaum didaktisch kleinschreiben.

Während der Vorbereitung des Unterrichts und auch in der Anwendungs-Modellierungsphase übernimmt die Mathematiklehrerin und der Mathematiklehrer in der Regel die Rolle eines kompetenten Laien.

Die Lehrkraft stimmt sich mit den Kleingruppen ab, in welcher Reihenfolge die Präsentationen vor der Klasse erfolgen. Dann erteilt sie etwa die folgenden Arbeitsaufträge:

1. Jede Kleingruppe stellt ihre Arbeitsergebnisse vor der Klasse so vor, dass alle anderen in der Klasse sie auch verstehen und nachvollziehen können. Also: Lasst immer genügend Zeit, damit die Anderen sich auch Notizen in ihrem Matheheft machen können. Hetzt nicht durch euren Vortrag.
2. (Ggf.: Ich habe vor, die Präsentation zu bewerten.)
3. Jede Kleingruppe beleuchtet in ihrem Vortrag das Problem des Klimawandels unter einem anderen Gesichtspunkt. Alle diese zeigen zusammen aber die Größe des Problems für uns Menschen. Und genau das wollen wir dann auch noch gemeinsam diskutieren, nachdem alle Vorträge gehalten sind.
4. In einem sich anschließenden fragend-entwickelnden Unterricht wollen wir dann auch noch unter meiner Leitung die funktionale mit der dynamischen Modellierung vergleichen.

Auch das Präsentieren-Können ist eine wichtige prozessorientierte (allgemeine) mathematische Kompetenz. Die Erstellung eines präsentierbaren Produktes braucht also Zeit.

Alle Kleingruppen können bei den Präsentationen erleben, wie die Modellierung ihres Teilbereiches in eine vollständigere Modellierung des realen Problems eingebettet ist. Wünschenswert wäre es, wenn bei den Präsentationen und Diskussionen auch eine Lehrperson oder eine Mutter oder ein Vater mit einer sachdienlichen Kompetenz dabei wären.
Und die Jugendlichen können so erleben, dass arbeitsteilige Teamarbeit produktiv ist und keine „Zeit“ verschwendet.

Die Jugendlichen sollten durch die Gesamtheit der Präsentationen und abschließenden Diskussionen zur Erkenntnis gelangen, wie groß und umfänglich das Problem des Klimawandels für uns Menschen ist und welche Gegenmaßnahmen wirken können (emanzipatorische Kompetenzen!). Mathe bekommt einen anderen Sinn als nur den, lediglich Selbstzweck zu sein.

Soll nach der Anwendungsphase eine Klassenarbeit geschrieben werden, dann bieten sich nur Aufgaben an, die auch das zuvor Gelernte abprüfen. Hierzu wird verwiesen auf "Test-Aufgaben zur kompetenzorientierten Diagnose".
Aber auch die Präsentation kann zur Leistungsbewertung genutzt werden. Das sollten die Jugendlichen aber wissen, bevor sie ihre Präsentation ausarbeiten.

Die Mathematiklehrerin oder der Mathematiklehrer nutzt die Präsentationen der Gruppen 1 um die wesentlichen Begriffe der dynamischen Modellierung noch einmal zu wiederholen. Sie lenkt gezielt den Blick auf folgende Feststellung:

Dynamische Modellierungen führen zu Beschreibungen des Systemverhaltens von zweckbedingt untersuchten Modellen und erlauben Aussagen darüber, wie eine Veränderung der "Stellschrauben" (Parameter) im System wirkt: in welcher Richtung ihre Veränderung verheerende oder günstige Auswirkungen hat. Zunkunftsaussagen dieser Art ergeben sich aus den Systemzusammenhängen und sind in der Regel qualitativ. Sie können aber handlungsleitend sein.

Ebenso nutzt die Mathematiklehrerin oder der Mathematiklehrer die Präsentationen der Gruppen 2 und 3 um die wesentlichen Begriffe der funktionalen Modellierung noch einmal zu wiederholen. Sie lenkt gezielt den Blick auf folgende Feststellung:

Funktionale Modellierungen führen über funktionale Approximationen von Zusammenhängen in der Vergangenheit zu möglichen Vorhersagen oder Prognosen für die nahe Zukunft.

Bei einer dynamischen Modellierung haben wir es mit einer diskreten Mathematik zu tun. Diskret erstens, weil die Grundmenge für die Berechnungen immer eine diskrete (endliche)Teilmenge der rationalen Zahlen ist. Und diskret zweitens, weil alle Berechnungen in einem definierten Zeitschritt erfolgen, der zwar sehr klein sein sollte aber immer eine endliche Größe ist. Der alte Zustand wirkt in diesem Zeittakt zirkulär auf den neuen Zustand ein. Es gibt in der Regel keine geschlossenen algebraischen Ausdrücke (Funktionsterme) für die Zustandsgrößen in komplexen Systemen. (Im Leistungskurs Mathematik in Klasse 11 oder 12 kann ggf. auch der Zusammenhang des Systems der Modellgleichungen mit einem Differenzengleichungssystem oder einem Differentialgleichungssystem hergestellt werden.)

Wichtig ist es festzustellen, dass die Modelle immer abhängig vom Zweck der Untersuchung sind. Es gibt also immer alternative Modelle.

Und: Zur Untersuchung dynamischer Systeme ist immer ein Computer-Werkzeug notwendig.