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Kulturelle Kohärenz wird gestiftet, wenn die Jugendlichen die universelle Bedeutung der Mathematik an durchgängigen zentralen mathematischen Ideen exemplarisch erfahren können.
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Zentrale durchgängige Ideen sind: Zahl, Messen, funktionale, systemische und statistische Abhängigkeit, Symmetrie, Algorithmus, räumliches Strukturieren und mathematisches Modellieren. Sie sollten in jedem Einzelstoff als übergreifende "rote Fäden" vorhanden sein.
In dieser Arbeitsumgebung stehen in besonderer Weise die funktionalen, systemischen und statistischen Abhängigkeiten und das mathematische Modellieren im Vordergrund, was aber nicht ausschließt, das auch die anderen zentralen Ideen immer mal wieder zum Tragen kommen. |
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mehr dazu |
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Auszüge aus den Bildungsstandards im Fach Mathematik
(KMK-Beschluss in Deutschland) |
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Die realen Probleme in dieser Lernumgebung sind daher so aufbereitet, dass in der Modellierungphase Teilprobleme mit "funktionalen und systemischen" Abhängigkeiten sowohl in qualitativer als auch quantitativer Form modelliert werden können.
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"Funktionale oder systemische " Abhängigkeiten lassen sich modellieren und auch umgangssprachlich beschreiben als
- Zusammenhänge und Abhängigkeiten (zwischen Größen) u.a. von Preis und Menge, von Nachfrage und Preis, von Weg und Zeit, von Arbeit und Leistung, von Zeit und Information, von Zeit und Krankheit, von Zeit und Produkten, von Länge und Breite, von Höhe und Volumen, von Kapital und Zins sowie zwischen Währungen,
- Wechselwirkungen und Zusammenwirkungen u.a. in Form von schwachen Kopplungen, von starken Rückkopplungen, von Aufschaukelungen, von Anreicherungen, von Eskalationen und von "Schmetterlingseffekten" in Systemen,
- Beziehungen u.a. in Form von Kommunikation, von Kooperation, von Wohlstand und Ausgleich, von Hass und Liebe, von Krieg und Frieden zwischen Personen oder Menschengruppen,
- Vergrößern, Verkleinern, Strecken, Scheeren u.a. von Darstellungen, Grafiken oder Figuren sowie als
- statistische Zusammenhänge wie Verteilungen und Maße u.a. bei der Auswertung von Merkmalseigenschaften bei Befragungen oder Messungen.
Bei der Beschreibung und Interpretation von Problem-Lösungen sind u.a. die folgenden Darstellungsformen hilfreich und nützlich:
- Wertetafeln und Paarmengen,
- Diagramme, Graphen und "Kurven",
- sprachliche Ausdrücke und Terme,
- Gleichungen, Ungleichungen, Lösungsmengen und Funktionen,
- Netze,
- systemische Darstellungen,
- Mittel der beschreibenden und schließenden Statistik
- ...
Die für die einzelnen Altersstufen (13jährige, 15jährige und 17jährige) gegebenen Tipps zur Modellierung unterscheiden sich darin, dass unterschiedliche Klassen und Eigenschaften von Funktionen und systemischen Beziehungen bei einer Modellierung hilfreich und nützlich sind. So sind etwa bei den realen Problemen, die ab der Altersstufe der "13jährigen" vorgesehenen sind, vornehmlich lineare und stückweise lineare Zusammenhänge oder einfache Wachstumsverläufe und Wechselwirkungen zu konstruieren oder aber auch Beschreibungen mit den Mitteln der beschreibenden Statistik vorzunehmen. |
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Von den Schülerinnen und Schülern kann aber nicht erwartet werden, dass sie diese Darstellungen bei einer Modellierung bereits in mathematisch "exakter"
Form vornehmen. |
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In der Modellierungsphase wird es also auch neu erfundene Vorformen einer "mathematischen Sprache" geben. Diese Vorformen sind dann in einer zeitlich folgenden Systematisierungsphase zu abstrahieren, zu präzisieren, zu formalisieren, zu definieren und schließlich auch erneut anzuwenden.
Mit zunehmendem Alter der Jugendlichen sollen dann in immer wiederkehrenden Rhythmen von Modellieren, Systematisieren und Anwenden die mathematischen Begriffe geschärft (definiert) sowie der formale und deduktive Charakter der Mathematik (etwa in Sätzen zu Funktionseigenschaften) deutlich werden.
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Bei allen realen Problemen gibt es für die Lernenden in dieser Lernumgebung Hilfen, u.a. dazu wie sie funktionale oder systemische Abhängigkeiten modellieren können.
So können die Jugendlichen bei den Tipps zur Modellierung mathematische Hilfen aufrufen und nutzen. Diese Hilfen sind in einer Ebene darüber unter mathematischen Gesichtspunkten geordnet und gebündelt. So können/sollen diese Bündelungen ihnen helfen, die zunächst unscharf genutzten mathematischen Begriffe zu präzisieren und zu systematisieren. Alle Hilfen bieten weitergehende Aufgaben - auch für innermathematische Probleme - an, die den Jugendlichen bei ihrem selbsttätigen und selbstverantworteten Lernen helfen sollen, den "Transfer" zu lernen. |
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