Die Kugel ist ein dreidimensionaler Körper, aber die Kugeloberfläche ist ein zweidimensionaler Raum.
Es ist eine Fläche auf der andere Flächen geometrisch untersucht und betrachtet werden können.

Auf der Kugeloberfläche
kann also eine Geometrie betrieben werden.

U.a. lassen sich auch auf der Kugeloberfläche
Dreiecke, Vierecke, Vielecke zeichnen und untersuchen.
Das blaue Dreieck ist ein Beispiel für ein Dreieck auf einer Kugeloberfläche zwischen zwei parallelen Breitenkreisen.

Für dieses blaue Dreieck
- und für jedes andere
auf einer konkav
gewölbten Oberfläche -
ist die Winkelsumme
der Innenwinkel
immer größer als 180 Grad.

Zum Vergleich die
euklische Geometrie:

In der euklidischen Geometrie
sind die beiden folgenden Sätze sogar äquivalent.

Satz 1:
Die Summe der Innenwinkel
in einem Dreieck ist immer genau 180 Grad.

Satz 2:
Zu einer Geraden g gibt es durch einen Punkt P der
Ebene genau eine Parallele.
(Das ist so genannte Parallelenaxiom des Euklid.)

Die Geometrie auf einer Kugeloberfläche bei der die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck immer größer als 180 Grad ist, ist eine nicht euklische Geometrie.
Die nichteuklidische Geometrie unterscheidet sich also von der euklidischen Geometrie dadurch, dass hier das Parallelenaxiom nicht gilt. Das bedeutet nicht, dass es in der mathematischen Theorie als falsch ausgewiesen wurde. Es sagt nur, dass es Geometrien gibt, die von unterschiedlichen Axiomen ausgehen können und dass Axiome deshalb nicht mehr wie früher üblich als selbstevidente Sätze aufgefasst werden können.
In der nichteuklidischen Geometrie gilt, dass es durch einen Punkt außerhalb einer Geraden nicht nur genau eine Parallele gibt (es gibt also entweder keine oder mehrere Parallelen). Gibt es keine Parallelen, so spricht man von einer elliptischen Geometrie, andernfalls von einer hyperbolischen Geometrie.
Ein beliebtes Beispiel für eine elliptische Geometrie ist eine zweidimensionale Geometrie auf einer Kugeloberfläche. Eine wichtige Anwendung der hyperbolischen Geometrie ist die Beschreibung der Geometrie des Raumes in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Siehe auch:

• http://de.wikipedia.org/wiki/Nichteuklidische_Geometrie
• http://de.wikipedia.org/wiki/Quantengeometrie
• http://de.wikipedia.org/wiki/Fraktal mit vielen weiteren Weblinks