Beispiel 1:
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Die Kosten k eines Gutes stehen im funktionalen Zusammenhang mit der gekauften Menge m des Gutes; wobei der Preis p = 0,60€/1kg eine Konstante sein soll. |
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Darstellung des Zusammenhangs als Funktionsgleichung
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Menge (kg) |
0 |
0,25 |
0,5 |
0,75 |
1 |
1,5 |
2 |
... |
Kosten (€) |
0 |
0,15 |
0,30 |
0,45 |
0,60 |
0,90 |
1,20 |
... |
In der Wertetabelle sind die zugeordneten Werte als Wertepaare (Menge/Kosten) dargestellt.
Kennt man die gekaufte Menge m und den konstanten Preis p, so können die Kosten k mittels der Gleichung (Rechenvorschrift) berechnet werden: k = 0,6€/1kg · m
Die Gleichung enthält zwei Variable, wovon m die unabhängige und k die abhängige Variable ist. Mit anderen Worten: Die Mengen werden vorgegeben und die Kosten berechnet. Und: Diese Zuordnung ist eindeutig: die Gleichung ist eine Funktionsgleichung. |
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Darstellung des Zusammenhangs als Lösungsmenge
der Funktionsgleichung |
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Werden die Wertepaare aus der obigen Wertetabelle in die Funktionsgleichung eingesetzt, so wird die Gleichung wahr! Alle Wertepaare aus der Wertetabelle sind also eine Lösung der Funktionsgleichung. Und: Davon gibt es unendlich viele.
Die komplette Lösungsmenge lässt sich wie folgt schreiben:
{(m/k) / k = 0,6€/1kg · m} m ist irgendeine positive Zahl
gesprochen: Menge aller Paare (m/k) für die gilt k = 0,6€/1kg · m |
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Beispiel 2:
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Die Fläche I eines Quadrats steht im Zusammenhang mit seiner Seitenlänge a |
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Darstellung des Zusammenhangs als Funktionsgleichung |
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Seitenlänge (cm) |
0 |
0,25 |
0,5 |
0,75 |
1 |
1,5 |
2 |
... |
Flächeninhalt (cm²) |
0 |
0,0625 |
0,25 |
0,5625 |
1 |
2,25 |
4 |
... |
In der Wertetabelle sind die zugeordneten Werte als Wertepaare (Seitenlänge/Flächeninhalt) dargestellt.
Kennt man die Seitenlänge a, so können die Flächeninhalte I mittels der Gleichung (Rechenvorschrift) berechnet werden: I = a · a = a²
Die Gleichung enthält zwei Variable, wovon a die unabhängige und I die abhängige Variable ist. Mit anderen Worten: Die Längen werden vorgegeben und die Flächeninhalte berechnet. Und: Diese Zuordnung ist eindeutig: die Gleichung ist eine Funktionsgleichung. |
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Darstellung des Zusammenhangs als Lösungsmenge
der Funktionsgleichung |
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Werden die Wertepaare aus der obigen Wertetabelle in die Funktionsgleichung eingesetzt, so wird die Gleichung wahr! Alle Wertepaare aus der Wertetabelle sind also eine Lösung der Funktionsgleichung. Und: Davon gibt es unendlich viele.
Die komplette Lösungsmenge lässt sich wie folgt schreiben:
{(a/I) / I = a²} a ist irgendeine positive Zahl
gesprochen: Menge aller Paare (a/I) für die gilt I = a² |
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Beispiel 3:
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Der Weg s steht in Abhängigkeit zur (im Zusammenhang mit der) Fahrtzeit t; wobei die Geschwindigkeit v = 40km/1h konstant bleiben soll. |
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Darstellung des Zusammenhangs als Funktionsgleichung |
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Fahrtzeit (h) |
0 |
0,25 |
0,5 |
0,75 |
1 |
1,5 |
2 |
... |
Weg (km) |
0 |
0,0625 |
0,25 |
0,5625 |
1 |
2,25 |
4 |
... |
In der Wertetabelle sind die zugeordneten Werte als Wertepaare (Fahrtzeit/Weg) dargestellt.
Kennt man die Fahrtzeit t, so können die Wege s mittels der Gleichung (Rechenvorschrift) berechnet werden:
s = 40km/1h · t
Die Gleichung enthält zwei Variable, wovon t die unabhängige und s die abhängige Variable ist. Mit anderen Worten: Die Fahrtzeiten werden vorgegeben und die Wegstrecken berechnet. Und: Diese Zuordnung ist eindeutig: die Gleichung ist eine Funktionsgleichung. |
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Darstellung des Zusammenhangs als Lösungsmenge
der Funktionsgleichung |
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Werden die Wertepaare aus der obigen Wertetabelle in die Funktionsgleichung eingesetzt, so wird die Gleichung wahr! Alle Wertepaare aus der Wertetabelle sind also eine Lösung der Funktionsgleichung. Und: Davon gibt es unendlich viele.
Die komplette Lösungsmenge lässt sich wie folgt schreiben:
{(t/s) / s = 40km/1h · t} t ist irgendeine positive Zahl
gesprochen: Menge aller Paare (t/s) für die gilt s = 40km/1h · t |
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Ideen für mögliche, selbstorganisierte
Übungen: |
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Abhängigkeiten oder Zuordnungen lassen sich unterschiedlich darstellen. Dadurch ändert sich aber die Abhängigkeit oder Zuordnung nicht.
- Stellt weitere selbst gewählte Abhängigkeiten als Funktionsgleichung und deren Lösungsmenge dar.
- Prüft euch gegenseitig, ob ihr es könnt.
Diskutiert miteinander, wie ihr prüfen könnt, ob eine Zuordnung eine Funktion ist oder nicht. |
