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Term |
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Ein Term ist ein Rechenausdruck mit oder ohne Leerstellen.
Auch alle Zahlen sind Terme.
Beispiele für Terme: 5+3; 2+3+4+5+6; 3a + 5a - 4a;
4ab + 3ac - 2bc;
4a (a + 3c); (a+b)²; a² + 2ab + b²;
a² - b²; 5·x + 7; 5·10 + x ²; ...
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Gleichung |
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Werden zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen verbunden, so entsteht eine Gleichung.
Beispiele:
- 3a + 5a - 4a = 4a;
- 5·x + 15 = 0;
- 2·10 + x ² = 36;
- ...
Eine Gleichung ist eine
Aussage oder Aussageform
bei der rechts und links von einem Gleichheitszeichen ein Term steht. |
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Lösung(en) einer Gleichung
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Gesucht sind die Zahlen, die in die Gleichung eingesetzt, diese richtig (wahr) machen.
Beispiele:
Die Gleichung 4x -5 = 7 hat die Lösung 3
Die Gleichung 2·10 + x ² = 36 hat die Lösungen 4 und -4
Die Gleichung 2(x-1) = 2x -2 hat unendlich viele Lösungen.
In der letzten Gleichung sind alle natürlichen Zahlen N oder ganzen Zahlen Z oder rationalen Zahlen Ra oder reellen Zahlen Re eine Lösung der Gleichung.
Man sagt: die Gleichung 2(x-1) = 2x -2 ist allgemeingültig. |
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Man sagt auch: die Terme 2(x-1) und 2x -2 sind äquivalent.
Weitere Beispiele für äquivalente Terme:
- 3a + 5a - 4a ist äquivalent mit 4a
- (a+b)² ist äquivalent mit a² + 2ab + b²
Umformungen von Termen haben den alleinigen Zweck, einen Term in einen einfacher zu handhabenden äquivalenten umzuformen. |
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Die folgenden Gleichungen haben dieselbe Lösungsmenge.
- 2·10 + x ² = 36 und
- 20 + x ² = 36 und
- x ² = 16
Man sagt: die Gleichungen sind äqivalent. Das Zeichen dafür ist das folgende <=> . |
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Äquivalenzumformungen
von Gleichungen |
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Umformungsregeln, die Gleichungen in äquivalente umformen, heißen Äquivalenzumformungen. Sie haben den alleinigen Zweck, die Lösungen der Gleichung schneller zu erkennen.
Zwei Beispiel für eine Äquivalenzumformungsregel:
- Zwei Gleichungen sind äquivalent, wenn man die Terme in einer Gleichung durch äquivalente ersetzt.
- Zwei Gleichungen sind äquivalent, wenn man auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Operation ausführt.
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