Netze und dynamische Systeme
Warum sollen im Mathe-Unterricht Modelle gebildet und simuliert werden?

Warum sollen Kinder und Jugendliche im Mathematikunterricht
reale Probleme
modellieren können?

In den Rahmenlehrplänen Mathematik aller Bundesländer sind allgemeine Zielformulierungen zu finden, die das mathematische Modellieren im MU begründen und fordern. U.a. in NRW: ... „Mathematische Grundbildung umfasst die Fähigkeit, die Rolle zu erkennen, die Mathematik in der Welt spielt, mathematisches Wissen funktional, flexibel und mit Einsicht zur Bearbeitung vielfältiger kontextbezogener Probleme einzusetzen und begründete Urteile abzugeben. Sie beinhaltet insbesondere die Kompetenz des problemlösenden Arbeitens in inner- und außermathematischen Kontexten. Grundlegend dafür ist die Fähigkeit, komplexe Probleme zu strukturieren sowie reale Probleme in geeigneter Weise mathematisch zu beschreiben, also Modelle zu bilden und zu nutzen.“

Bei Modell oder modellieren denkt kaum ein Mensch an Mathematik. Modell assoziiert im Alltag eher so etwas wie Modellbaukasten, Modelleisenbahn, Modellfrisur oder Model. In den Wissenschaften wird an ein Börsenmodell, Wellenmodell, Atommodell oder Blumenmodell gedacht. Und entsprechend dieser Begriffsvielfalt bedeutet dann „modellieren“ ebenfalls ganz Unterschiedliches: Kinder modellieren aus Matsch einen Kuchen, künstlerisch tätige Menschen gestalten nach einem Modell oder einem Model eine Statue oder ein Kleid und die Wissenschaft der Biologie abstrahiert von unterschiedlichen realen Blumen ein Blütenmodell.

Siehe aber auch:

Beim Modellieren von
realen Problemen
können wichtige zukunftsorientierte
Kompetenzen oder Fähigkeiten
erworben werden

Mit der Arbeit an realen Problemen und dabei insbesondere auch an dynamischen Systemen können folgende zukunftorientierte, wichtige Kompetenzen oder Fähigkeiten erworben werden u.a. :

• Kalkulationen (Berechnungen) und geometrische Konstruktionen im Kontext eines realen Problems durchführen, interpretieren und bewerten können,
• Datensätze in Diagrammen darstellen, über gefundene Terme simulieren, die Graphen interpretieren und bewerten (beurteilen) können,
• in Daten“wolken“ oder Zeitreihen Zusammenhänge entdecken, beschreiben, interpretieren und bewerten (beurteilen) können,
• Korrelationen finden und „berechnen“ sowie interpretieren und bewerten (beurteilen) können,
• ...
• in komplexen, realen Problemen wesentliche, zusammenwirkende oder wechselwirkende Zustands-Größen entdecken und analysieren können,
• komplexe Systeme (Netze) in solche Teilsysteme zerlegen können, die bereits getrennt vom Ganzen untersucht werden und so schon zu wesentlichen Einsichten führen können,
• komplexe Teilsysteme als zeitabhängig erkennen und mathematisch mit den Methoden der "systems-dynamics" modellieren, simulieren, interpretieren und beurteilen können,
• komplexe Teilsystem wieder zu einem dynamischen Ganzen zusammenbinden und das Verhalten des Ganzen studieren und beschreiben können,
• ...

Mathematische Kompetenzen dieser Art werden in Zukunft immer wichtiger: Einerseits für ein Arbeiten und Mitdenken in den Natur-, Technik-, Gesellschafts-, Wirtschafts- und Finanzwissenschaften sowie andererseits für ein verantwortetes Mitwirken in einer stetig komplexer und globaler werdenden Welt.

"Denken in Netzen" (oder "systemisches Denken, systems thinking") umfasst ein Denken in vernetzten Strukturen, ein Denken in dynamischen Zeitgestalten und die Fähigkeit zur praktischen Steuerung von Systemmodellen am Computer.

Selbstreguliertes (eigenaktives, selbstorganisiertes, selbstverantwortetes) Lernen ist eine notwendige Bedingung beim Erwerb der Fähigkeit (Kompetenz), reale Probleme modellieren zu können.

So sollte jeder Einstieg in ein (reales) Problem mit einer durch die Lernenden selbst zu regulierenden Erkundungs- und Wahlaufgabe verbunden sein. Denn Wählen dürfen, wie können, lässt individuelle Interessen zu. Und diese zu realisieren, erzeugt angenehme, das Lernen unterstützende „Gefühle“. Die Folge im Unterricht ist arbeitsteilige, individuelle Arbeit oder besser arbeitsteiliger Kleingruppenunterricht mit individuellen Lernphasen. Mittlerweile ist bewiesen, dass es beim Lernen vor allem aufs Gefühl ankommt. Denn derjenige Hirnteil, in dem die Gefühle verankert sind, bewertet die Tätigkeit des Großhirns.

Lernen alleine durch noch so wohlgemeinte, kleinschrittige Instruktion (Anweisung) oder durch alleiniges Vor- und Nachmachen ist weder nachhaltig noch zur Ausbildung von Modellierungs-Kompetenzen geeignet. Auch Kompetenzen, welcher Art auch immer, müssen individuell und nachhaltig konstruiert (gelernt) werden.

Die Lehrperson hat beim Einstieg ins Modellieren und auch während der Modellierungs- und Präsentationsphase eine mehr beratende und coachende Funktion. Sie kann z.B. durch Auswahl geeigneter realer Probleme dafür sorgen, dass mit den gestellten Anforderungen Wahlmöglichkeiten gegeben sind und die Anforderungen (durch die Kinder und Jugendlichen) auf unterschiedlichen Niveaus auch erfüllbar oder leistbar sind. Daher müssen die Anforderungen mehr oder weniger offen formuliert sein und auch – bezogen auf den individuellen Lernstand - eine kleine Herausforderung zur Eigentätigkeit und Selbstorganisation enthalten. Selbstregulierung lernen Kinder und Jugendliche genau dadurch, dass sie ihre Arbeit selbst regulieren. Und dabei sollten auch Fehler zugelassen werden. Außerdem gibt es bei Modellierungsaufgaben nicht nur die eine gute Lösung sondern in der Regel mehrere. Wichtig ist, dass die Ergebnisse begründet werden können.

Modellieren– Kommunizieren – Präsentieren gehören zusammen und sind kaum getrennt voneinander zu lernen

In der Modellierungsphase sind Kommunikationen in den Kleingruppen die Regel: Denn in dieser Lernphase müssen sich die Kinder und Jugendlichen über Sach-Inhalte, über methodische Vorgehensweisen sowie über zu nutzende Werkzeuge verständigen. In dieser Phase sollten sie auch selbstständig mathematische Modelle erfinden und nicht nur bereits (auf Vorrat) gelernte Mathe anwenden. Das alles setzt Gespräche voraus, die zu Einigungen (Verständigungen) in der Kleingruppe führen müssen, soll nach einer gewissen Zeit ein Produkt vorliegen, das präsentiert werden kann. In jedem Fall müssen die Präsentationen so erfolgen, dass alle Schülerinnen und Schüler dabei das Wesentliche der Darstellung verstehen und auch lernen können. Das setzt wiederum voraus, dass das Präsentierte in der Klasse kommuniziert wird.

Wird die Modellierungsphase als Kleingruppenpuzzle durchgeführt so wird die Konstruktion subjektiven und intersubjektiven Wissens erheblich gefordert und gefördert, denn die zeitlich folgende Präsentationsphase verlangt von den Kindern und Jugendlichen, dass sie in dieser Phase als Experten auftreten können.

Der Präsentation schließt sich eine Systematisierung und Einübung ausgewählter, mathematischer Modelle an. Soll z.B. das mathematische Modell der linearen Funktion sowie die Umformung von linearen Termen und Gleichungen systematisiert werden, so muss das quantitative oder qualitative Modell des Problems diese Modellierung zulassen. Entsprechend muss die Lehrperson das Problem auswählen. Natürlich können auch andere mathematische Modelle in der Präsentation vorkommen. Diese werden dann nach weiteren Modellierungen systematisiert und geübt.

• Diskutiert miteinander, wie der Modellzweck die Modellierung und daher die Modellergebnisse beeinflusst.
• Diskutiert miteinander, warum es trotzdem sehr wichtig ist, sich auf diese Art mit komplexen Systemen auseinander zu setzen.