blikk info infothek forum galerie sitemap

Netze und dynamische Systeme
Dynamik, Attraktoren
und deterministisches Chaos

 anfang zurueck weiter ende nach oben
   

Selbstähnlichkeiten bei Galaxien

 
Selbstähnlichkeiten
bei den Zeichnungen in der Landschaft
  
Attraktor eines Denk"gewitters" im Gehirn beim Hören eines Wortes
         
Beschreibung der Dynamik eines Fadenpendels -
ein einfaches
dynamisches System
 

Zur Bestimmung der Dynamik braucht man entsprechend der folgenden newtonschen Bewegungsgleichung

 
         



 

lediglich die beiden Variablen Auslenkung aus der Ruhelage (den Ort x) und Geschwindigkeit v.
Diese konkreten Wertepaare von Ort und Geschwindigkeit lassen sich als Punkte in einer Ebene mit den Koordinaten-Achsen Ort und Geschwindigkeit aufzeichnen (oben rechts).
Kennt man den Anfangsort und die Anfangsgeschwindigkeit an diesem Ort, so ist die Bewegung des Pendels vollständig bestimmt.
     
Beschreibung der Dynamik irgendeines
dynamischen Systems
   Zur Beschreibung irgendeines dynamischen Systems muss sein Zustand (das sind die wesentlichen Informationen über das System) und seine Dynamik (das ist eine Vorschrift, welche die zeitliche Änderung des Zustandes angibt) bekannt sein.
Die zeitliche Entwicklung des Systems lässt sich dann in einem Zustandsraum veranschaulichen, dessen Koordinaten die Komponenten des Zustandes sind. Beim Fadenpendel sind dies der Ort und die Geschwindigkeit. Der blaue Kreis beschreibt die zeitliche Entwicklung des Pendels, wenn ihm immer wieder die Energie zugeführt wird, die er durch Reibung verliert. Die geometrische Figur wird auch Orbit genannt.
     

Beschreibung der Dynamik eines
chaotischen Systems

  Der Teilbereich der Systemtheorie, der das Verhalten von stochastischen Systemen untersucht, wird auch Chaostheorie oder Chaosforschung genannt.
Bei der Beschreibung chaotischer Systeme ist der Zustandsraum ein wichtiges Mittel. Seine Bedeutung liegt darin, das Verhalten geometrisch darzustellen.
Die zeitliche Entwicklung eines realen Fadenpendel wird unter dem Einfluss von Reibung eine Spirale sein und schließlich in einem Punkt stehen bleiben. Im Zustandraum läuft der Orbit (die geometrische Figur) auf eine Punkt zu. Dieser Punkt ist ein Fixpunkt. Jedes System, das langfristig zur Ruhe kommt, lässt sich durch einen Fixpunkt im Zustandsraum charakterisieren.
Weil der Fixpunkt gewissermaßen "Orbits" in der Nähe gleichsam anzieht, spricht man auch von einem Attraktor (lateinisch attrahere, anziehen). Stößt man das Pendel ein wenig an, so kehrt sein Orbit zum selben Fixpunkt-Attraktor (Abbildung 1) zurück.
     

Attraktoren - Attraktortypen

Die nebensteheden Abbildungen zeigen sowohl das Verhalten eines Systems im Zustandsraum (linke Seite im Bild) als auch das Systemverhalten in Abhängigkeit von der Zeit (rechte Seite im Bild).

 

  
     
Attraktortyp:
Zyklus, Grenzzyklus
   Einige Systeme kommen langfristig nicht zur Ruhe, sondern durchlaufen periodisch eine Reihe von Zuständen. Ein einfaches Beispiel dafür ist die Pendeluhr, bei der eine Feder oder die Gewichte die Energieverluste durch Reibung ausgleichen. Das Pendel wiederholt die gleiche Bewegung immer wieder. Im Zustandraum gehört zu dieser Bewegung ein Zyklus: ein periodischer Orbit. Unabhängig davon, wie das Pendel in Bewegung versetzt wird, wird es langfristig immer den gleichen Zyklus erreichen. Solche Attraktoren nennt man Grenzzyklen (Abbildung 2). Ein bekanntes System mit eine Grenzzyklus-Attraktor ist das Herz.
     
Einzugsgebiet
eines Attraktors
   Ein System kann durchaus mehrere Attraktoren haben. Wenn dies der Fall ist, können sich die Orbits von unterschiedlichen Anfangs- bedingungen auf verschiedene Attraktoren zu bewegen.
Die Menge aller Punkte, die sich auf einen Attraktor zu bewegen, heißt das Einzugsgebiet des Attraktors. Die Pendeluhr hat z.B. zwei solcher Einzugsgebiete: Bei kleiner Auslenkung des Pendels kehrt es wieder in die Ruhelage zurück; bei großer Auslenkung jedoch beginnt die Uhr zu ticken, und das Pendel führt stabile Oszillationen aus.
     

Attraktortyp: Torus

   Die nächstkompliziertere Form eines Attraktors ist ein Torus (Abbildung 3) - eine Fläche, die der Oberfläche eines Rettungsringes ähnelt. Dieser Typ beschreibt Bewegungen mit zwei unabhängigen Oszillationen (zum Beispiel den elektrischen Schwingkreis). Orbits, die auf einem Torus nahe beieinander gestartet werden, bleiben nahe beieinander. Kleine Fehler bleiben in der Wirkung beschränkt. Eine langfristige Vorhersagbarkeit ist gewährleistet.
     

Deterministisches Chaos

 

Das Verhalten von stochastischen Systemen lässt sich nur in Wahrscheinlichkeiten ausdrücken und nur langfristig vorhersagen oder gar nicht vorhersagen. Bei der grafischen Darstellung des Verhaltens kann es mit der Zeit zur Ausprägung von Fixpunkten, Zyklen oder Attraktoren kommen, auf die sich das System einstellt. So wird das Verhalten langfristig vorhersagbar, also deterministisch.
Verhalten sich stochastische Systeme vorhersagbar, was überhaupt nicht immer so sein muss, so spricht man von einem deterministischen Chaos.
   

 


 

Chaotische Attraktoren

  

Mischung der Orbits bei einem chaotischen Attraktor

     
Chaotische Attraktoren
   Im Jahre 1963 entdecke E.N.Lorenz (vom MIT) einen Attraktor (heute Lorenz-Attraktor genannt ), der sich nicht mit den drei zuvor genannten Attraktortypen beschreiben ließ. Er fand für diesen chaotischen Attraktor mit Hilfe des Computers auch den fundamentalen Mechanismus: Mikroskopische Störungen werden verstärkt und beeinflussen das makroskopische Verhalten. Zwei Orbits mit verwandten Anfangsbedingungen laufen exponentiell auseinander und bleiben nur für kurze Zeit benachbart. Da aber das exponentielle Auseinanderstreben der Orbits eine lokale Eigenschaft ist, können wegen der endlichen Größe des chaotischen Attraktors zwei Orbits nicht für immer exponentiell auseinanderlaufen. Sie müssen schließlich wieder nahe aneinander vorbeilaufen.
     

Chaotischer Attraktortyp: Fraktal

 

 

   Auseinanderlaufen bedeutet geometrisch: strecken. Nahe aneinander vorbeilaufen bedeutet geometrisch: falten.
Durch diesen immer wieder ablaufenden Prozess von Strecken und Falten werden die Orbits auf einem chaotischen Attraktor "gemischt". "Zufälligkeit" ist daher die Folge: Es ist überhaupt nicht mehr sicher, wohin sich der Punkt im Zustandsraum bewegt.
Ein chaotischer Attraktor ist also ein Fraktal: ein geometrisches Objekt, das bei jeder Vergrößerung neue Details zeigt.
Chaos mischt die Orbits in ähnlicher Weise, wie ein Bäcker einen Teig mischt durch Kneten. Mit einem Tropfen blauer Lebensmittelfarbe im Teig entsteht durch Kneten (ausrollen = strecken und zusammenfalten = falten) ein Teig, der abwechselnd aus blauen und weißen Lagen besteht, die ganz nahe beieinanderliegen.
     
 
     
Ideen für mögliche, selbstorganisierte
Übungen:
 

In der Folgezeit nach Lorenz versuchten Wissenschaftler zu zeigen, dass chaotische Attraktoren z.B. auch für Turbulenzen in Gasen, Mischungen von Flüssigkeiten und Denkgewitter im Gehirn verantwortlich sind (siehe die Bilder oben auf dieser Seite).
Bei der Beschreibung des Entstehens von Wirbeln in einer gleichmäßig strömenden Flüssigkeit oder in einem Gas haben Wissenschaftler z.B. die komplizierten Gleichungen der Hydrodynamik näherungsweise auf ein einfaches System von nur drei gewöhnlichen Differentialgleichungen reduziert, um so gewisse Aspekte des turbulenten Langzeitverhaltens von Flüssigkeiten zu bestimmen.

  • Beschäftigt euch mit chaotischen Attraktoren, wenn ihr daran interessiert seid. Nutzt dazu aber auch die Fachliteratur.
nach oben