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Fraktale Geometrie
als eine neue "Sprache"
zur
Beschreibung von Dynamik
Die Sprache der fraktalen Geometrie sind Algorithmen, die mit Hilfe des Computers als geometrische Muster sichtbar gemacht werden können. Besonders eindruckvoll kann
dies an der Mandelbrot-Menge gezeigt werden. Diese Menge
(sie wird auch Apfelmännchen genannt) besitzt einen außerordentlich großen Reichtum an geometrischen Strukturen in ihren farbigen Rändern. |
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Die Mandelbrot-Menge (das Apfelmännchen) |
Hinter der Mandelbrot-Menge steckt das Grenzverhalten eines einfachen
quadratischen Algorithmus
gefunden 1980 vom Mathematiker:
Benoit Mandelbrot |
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Eine Vergrößerungsserie vom farbigen Rand der Mandelbrot-Menge an den Stellen A, B und C (siehe Bilder oben) zeigt diesen Reichtum an Mustern. Diese Vielfalt an Formen steht in einem fast unverständlichen Gegensatz zu der folgenden ganz einfachen, quadratischen Funktion, die sie erzeugt:
f(z) = z² + c
(z und c Elemente aus der Menge der komplexen Zahlen)
Zu jedem Punkt (Konstante) c der komplexen Zahlenebene gehört eine Julia-Menge (benannt nach dem Mathematiker Gaston Julia, 1893 - 1978). Einige dieser Julia-Mengen sind (in unscharfer Form) durch Vergrößerung aus der Mandelbrot-Menge erzeugt worden (siehe obige Bilder). Sehr viel genauer entstehen diese Julia-Mengen, wenn sie mit der obigen Gleichung durch Einsetzen einer komplexen Zahl für c erzeugt werden. Die Mandelbrot-Menge ist gewissermaßen ein Bildspeicher oder Inhaltsverzeichnis für die unendlich vielen Julia-Mengen.
Neben der Formenvielfalt lässt sich an der obigen Mandelbrot-Menge auch verdeutlichen, dass die Vergrößerungsserie vom Rande der Mandelbrot-Menge auch immer wieder eine Kopie der Mandelbrot-Menge selbst erzeugt. Immer wieder tauchen selbstähnliche Figuren auf. |
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Mit dem folgenden
linearen Algorithmus
f(x/y) = (0,5x + b / 0,5y + c)
mit (x/y) Element der reellen Zahlenebene und b,c Elemente der reellen Zahlen
lässt sich ein Grenzwertbild,
das so genannte Sierpinski Dreieck erzeugen
(Sierpinski, 1882 - 1969). |
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Konstruktion eines
zufälligen Fraktals
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Alle zuvor gezeigten Fraktale können als deterministisch angesehen werden. Der Zufall spielt bei ihrer Entstehung keine Rolle. Das ist in folgendem Beispiel aber anders:
Man beginnt mit einem Dreieck (linke Spalte) in einer waagerechten Ebene und markiert die Mittelpunkte seiner Seiten. Diese Mittelpunkte werden nun senkrecht zur Dreiecksfläche um einen zufälligen Betrag (nach einem Zufalls- oder Verteilungsgesetz) nach oben oder unten verschoben. Die so erhaltenen Punkte bilden mit den alten Eckpunkten des Dreiecks drei kleinere Dreiecke, auf die man dasselbe Verfahren anwendet und so weiter. Abhängig vom Zufallsgesetz bilden sich schließlich nach einigen Hunderten von Iterationen Gebirgsgestalten. |
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Inzwischen hat man dieses Verfahren angewandt, um z.B. Erosionsgesetze für Gebirge zu modellieren oder Daten von Erdbeben im Hinblick auf die Veränderungen in Bruchzonen zu untersuchen. |
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Fraktales Wachstum
Eine mit diesem Ansatz verwandte Methode, nun aber wieder mit einem deterministischen Akzent, hat der Biologe A. Lindenmayer 1968 für die Beschreibung von Pflanzenformen entwickelt.
Ein Ergebnisbild, nicht aber das Verfahren, ist nebenan dargestellt. Die Darstellung sieht einem Foto täuschend ähnlich. |
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Modell von
L.M. Sander und T.A. Witten: Folge eines zufälligen, irreversiblen Wachstumsprozesses |
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Lange Zeit konnten turbulente Luft- und Flüssigkeitsströmungen, das Wachsen eines Blitzes, die Bewegung von Luftblasen in Öl oder die Ablagerung metallischer Teilchen in einer elektrolytischen Lösung kaum mathematisch beschrieben werden. Heute lassen sich diese Vorgänge nach einem Modell von L.M. Sander und T.A. erklären.
Abgebildet sind unten rechts das fraktale Muster eines Prozesses, der als diffusionsbegrenzte Anlagerung bezeichnet wird. Etwa 50 000 "Teilchen" wurden nacheinander in einem Gebiet außerhalb des Bildes gestartet und bewegten sich dann auf den Ursprung zu. |
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Das Bild der nbenstehenden Computer-Simulation ist ähnlich dem folgenden realen Bild einer Zinkablagerung in einer elektrolytischen Zelle.
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Ideen für mögliche, selbstorganisierte
Übungen: |
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Die Aufgabenstellungen zur fraktalen Geometrie sind so vielgestaltig, dass sie dem eigenen Interesse überlassen bleiben.
Im Internet ist eine Fülle an Informationen dazu zu finden.
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