am Beispiel
des realen Problems

Stunden- bzw. Unterrichtsablauf

1. UStd:
Diskussionen zum realen Problem sowie Wahrnehmung der Sachinformationen zum realen Problem
2. UStd:
Entwicklung von Fragen durch Diskussion des realen Problems;
Noch 2. UStd:
Sammlung der Fragen, die Schülerinnen und Schüler bearbeiten möchten; Entscheidung der Jugendlichen unter Beratung der Lehrperson für die Arbeit an einem Fragenbereich; Bildung von "interessengleichen" Kleingruppen auf der Basis der Entscheidungen
3. bis 6. UStd:
Mathematische Modellierungsarbeiten an den gewählten Fragen in "interessengleichen" Kleingruppen; sachangemessene und kontextbezogene Interpretation der Ergebnisse der mathematischen Modellierung; Erstellung einer Präsentation
7. und 8. UStd:
Präsentation der Kleingruppen-Ergebnisse in der Klasse und Diskussion der Ergebnisse im Sachzusammenhang des realen Problems
9. und 10. UStd:
Systematisierung der dynamischen Modellierung und der dabei genutzten Mathematik sowie Gegenüberstellung von funktionaler und dynamischer Modellierung
11. und weitere UStd:
Übungen und Anwendungen der dynamischen Modellierung in anderen Wirklichkeits-Kontexten

1. Unterrichtsstunde:

1. Setzt die Diskussion in spontan gebildeten Kleingruppen fort, notiert das für euch Wichtige. Lasst euch in euren Diskussionen unterstützen durch:
   a) eine mögliche Bild-Diskussionen oder/und durch die Geschichte zum Turmbau zu Babel
   b) einen Aufriss der komplexen, rückgekoppelten Zusammenhänge des Wachsens von Wirtschaften
2. Legt eine Projektmappe (ein Portfolio) an, in der (dem) ihr alle benutzen "Arbeitsblätter" abheftet und alle eure weiteren Ergebnisse aufschreibt. Notiert jetzt zunächst auch, was euch insbesondere betroffen macht. Schreibt aber auch auf, was euch gefallen und nicht gefallen hat sowie das, was euch Schwierigkeiten im Verständnis bereitet hat.

Die Seiten (Bilddiskussion und Blicke auf...) können als "Arbeitsblätter" ausgedruckt werden. Jugendliche können dann das für sie Wichtige unterstreichen oder hervorheben. Die Seiten können aber auch am Computer gelesen werden. Dann erfolgen die Notizen in der Projektmappe oder in den eigenständig ausgedruckten Seiten. Auf diese Weise können und sollen die persönlichen Interessen zur Bearbeitung einer bestimmten Frage geweckt werden.
Diese Eingangdiskussion sollte in jedem Fall stattfinden, damit erstens die späteren mathematischen Modellierungsarbeiten im Problemkontext interpretiert werden können und zweitens auch die Diskussionen in der Klasse nach den Kleingruppen-Präsentationen durch die Jugendlichen in einem Problemzusammenhang geführt werden können.

Die Systematisierung dynamischer Modellierungen erfolgt erst in der neunten Unterrichtsstunde. Das ist für Mathematiklehrerinnen und -lehrer ungewohnt!!! Aber: Die Systematisierungen können dann auf den zuvor selbstregulierten Modellierungen aufbauen. Vor einer Systematisierung haben dann die Jugendlichen bereits die Erfahrung gemacht, dass dynamische Modellierungsformen neben funktionalen einen Zweck haben: Sie dienen dem Erkenntnisgewinn in realen Zusammenhängen, der handlungsleitende (emanzipatorische) Ziele verfolgt.

In den Kleingruppen, die sich spontan in der ersten Unterrichtsstunde gebildet haben, wird die begonnene Diskussion für etwa 25 Minuten fortgesetzt, etwa mit dem Arbeitsauftrag:

1. Diskutiert miteinander, welche Fragen sich bei diesem realen Problem ergeben und schreibt dann die Fragen auf, die euch ganz persönlich interessieren. Lasst euch unterstützen durch die Seite: Was wächst da eigentlich? Warum muss die Wirtschaft ständig wachsen? dynamisch? grenzenlos? ... ? ... ?

Die Lehrkraft bündelt die Fragen zu Bereichen, bereitet die Entscheidung der Jugendlichen für die Arbeit an einem der Fragebereiche vor und organisiert auf dieser Basis quasi "interessengleiche" Kleingruppen. Möglich ist auch eine Binnendifferenzierung nach Leistung.

Durch Beratung wird die Lehrperson erreichen wollen, dass einige Kleingruppen am folgenden Aufgabenbereich arbeiten, denn sie will später die dynamische Modellbildung systematisieren:

• Konstruktion/Simulation: Wechselwirkungen bei Prozessen des Wirtschaftwachtums

Zur dynamischen Modellierung können sogar Kleingruppen mit den folgenden unterschiedlich schweren Arbeitsaufträgen gebildet werden. Der zuletzt genannte Arbeitsauftrag ist die schwerste.

Hier mögliche Lösungen dazu:

• Konstrukltion und Simulation zum dynamischen Wachstum des Industriekapitals
• Konstruktion und Simulation dynamischer Wechselwirkungen zwischen Konsum und Investition
• Konstruktion und Simulation dynamischer Wechselwirkungen zwischen Volkseinkommen, Konsum und Investition

Diese Lösungen zur dynamischen Modellierung zeigen, was ggf. mathematisch zu erwarten ist und wie die Ergebnisse interpretiert werden können.
Mindestens eine Kleingruppe sollte aber auch am folgenden Aufgabenbereich arbeiten.

• Analyse der wirtschaftlichen Prosperität (Entwicklungen) früher und heute

Nur so kann in der später folgenden Systematierungsphase der Unterschied zwischen dynamischer und funktionaler Modellierung herausgearbeitet werden. Es ist sicher auch hilfreich, wenn die Lehrkraft sich irgendeine Lösung zur funktionalen Modellierung ansieht.

1. Arbeitet in den nächsten vier Mathe-Stunden und auch Zuhause selbstreguliert (d.h. selbstständig, selbstorganisiert und selbstverantwortet) an den Fragen, die wir zuvor ausgewählt haben. Für euch passende Anforderungen findet ihr unter:
   Gruppe(n) 1: Dynamik des Wachstums von Industriekapital
   Gruppe(n) 2 : Dynamische Wechselwirkungen zwischen Konsum und Investition
   Gruppe(n) 3: Dynamische Veränderung des Volkseinkommens in Abhängigkeit von Konsum und Investition
   Gruppe(n) 4: Analyse der wirtschaftlichen Prosperität (Entwicklungen) früher und heute
   Auf diesen Seiten findet ihr auch mathematische Hilfen (in der rechten Spalte der Seite) und Hilfen zum Sachverhalt (eingebaut in die Anforderungen).
2. Ich werde euch bei eurer Arbeit beobachten (und ggf. bewerten, wie ihr euch in euren Kleingruppen gegenseitig helft und wie ihr miteinander kommuniziert und kooperiert). Wenn ihr aber nach einer eingehenden Beratung in eurer Kleingruppe mit eurer Arbeit nicht mehr weiter kommt, so berate ich euch auf Anfrage hin.
3. Stellt eure Modellierungsergebnisse (Arbeitsergebnisse) in euren Projektmappen dar. Nutzt dabei die euch bisher bekannte Mathe, (er)findet aber auch neue hinzu.
4. Interpretiert eure Ergebnisse sachangemessen im Kontext des ökonomisch bedeutungsvollen Problems
5. Erstellt in eurer Kleingruppe eine Präsentation sowohl für die Modellierungsergebnisse als auch für die Interpretation. Hilfen findet ihr unter "Anregungen zur Präsentation der Arbeitsergebnisse" auf der Eingangsseite des realen Problems.

• dass Jugendliche ihre Fragen mit der bis dahin bekannten Mathe sowie der selbstständig hinzu erfundenen Mathe mathematisch modellieren können,
• dass sie ihre Arbeit selbst organisieren und selbst verantworten (begründen) können,
• dass sie eine ansprechende Präsentation erarbeiten und dann auch halten können (eine Präsentation, die ggf. auch in der Klasse ausgehangen werden kann),
• dass sie Kommunikations- und Kooperationsregeln einhalten können (Anmerkung: das ist eine Grundlage der Teamfähigkeit).

1. Jede Kleingruppe stellt ihre Arbeitsergebnisse vor der Klasse so vor, dass alle anderen in der Klasse sie auch verstehen und nachvollziehen können. Also: Lasst immer genügend Zeit, damit die Anderen sich auch Notizen in ihrer Projektmappe machen können. Hetzt nicht durch euren Vortrag.
2. (Ggf.: Ich habe vor, die Präsentation zu bewerten.)
3. Jede Kleingruppe beleuchtet in ihrem Vortrag das reale Problem unter einem anderen Gesichtspunkt. Alle diese hängen aber, wie wir in der Eingangsdiskussion des Problems bereits festgestellt haben, irgendwie miteinander zusammen. Und genau das wollen wir gemeinsam diskutieren, nachdem alle Vorträge gehalten worden sind. So wollen wir erreichen, dass es nicht bei der Summe (Addition) der Einzelbeiträge bleibt, sondern die Diskussion ein neues Ganzes erwirkt.
4. In einem abschließenden Gespräch wollen wir auch noch klären, welchen Wert eine arbeitsteilige Arbeit innerhalb eines Teams hat.

Auch das Präsentieren-Können ist eine wichtige prozessorientierte (allgemeine) Kompetenz.
Die Jugendlichen sollen/sollten durch die Gesamtheit der Präsentationen zur Erkenntnis von Zusammenhängen gelangen, deren Bewertungen für ihr eigenes gesellschaftliches Handeln bedeutungsvoll sein können (emanzipatorische Kompetenzen!). Sie können die mathematischen Modellierungen als eine Erkenntnishilfe zur Bewertung des Problems erleben. Mathe bekommt einen anderen Sinn als nur und lediglich ihren Selbstzweck.
Alle Kleingruppen können bei den Präsentationen erleben, wie die Modellierung ihres Teilbereiches in eine vollständigere Modellierung des realen Problems eingebettet ist. Die Jugendlichen können so erleben, dass arbeitsteilige Teamarbeit produktiv ist und keine „Zeit“ verschwendet.

Nach diesen 3 Wochen (bei drei Mathestunden pro Woche) sollte in der Regel keine Klassenarbeit geschrieben werden. Zu Beginn der projektorientierten Unterrichtsphase sollte mit den Jugendlichen vereinbart werden, was zur Leistungsbewertung am Ende herangezogen wird (z.B. die Projektmappe, die Präsentation, die Beobachtungen zum Arbeits- und Sozialverhalten ...). Soll eine Klassenarbeit geschrieben werden, dann bieten sich aber nur Aufgaben an, die auch das zuvor Gelernte abprüfen. Solche Aufgaben sind zu finden unter:

• Erörterung möglicher Lösungen zu realen Problemen und (Test)Aufgaben zur kompetenzorientierten Diagnose

Die Mathematiklehrerin oder der Mathematiklehrer wiederholt noch einmal mit ihren/seinen Worten je eine Lösung der Gruppen 1, 2 und 3. Sie lenkt wiederholend den Blick auf:

• die Größen "Kapital", "Konsum", "Investition" und "Volkseinkommen", die den Zustand des betrachteten Wachstumsmodells beschreiben,
• den nowendigen Beschreibungsbegriff: Zustandsgröße mit Anfangsgröße,
• die Größen "Konsum_Zunahme" oder "Investitions_Abnahme, die die Veränderungen der betrachteten Zustandsgrößen beschreiben,
• den notwendigen Beschreibungbegriff: Flussgröße,
• die Konstanten oder Parameter (Konsumzunahmekoeffizient, Investitionsabnahmekoeffizient, Anpassungsfaktor), die auf die Flussgrößen wirken können und
• den notwendigen Beschreibungsbegriff "dynamisches Modell": Es ist ein zeitabhängiges Modell, dass sich in der Zeit oder in einem Zeittakt (Delta t) verändert.

Nach Präzisierung der vorstehenden Grundbegriffe verdeutlicht die Mathe-Lehrperson in jedem Fall noch einmal:

• die Darstellung der dynamischen Zusammenhänge in der Flussdiagramm-Symbolik und dem damit verbundenen Zweck,
• die Beschreibung der dynamischen Veränderung im Zeittakt (Delta t) in Form von Zustandsgleichungen für die Zustandsgrößen und weiteren Modellgleichungen für die Flussgrößen,
• die Programmierung der Zustands- und weiteren Modellgleichungen u.a. in Excel-Tabellen zum Zwecke der Simulation und
• die Notwendigkeit einiger Simulationsläufe zur Beschreibung der Verhaltens der Modelle.

• Warum soll oder muss eine Volkswirtschaft immer wachsen?
• Gibt es überhaupt keine Grenzen für wirtschaftliches Wachstum?
• Warum gibt es Grenzen des Wachstums in Ökosystemen aber nicht in Volkswirtschaften?

Während der Systematisierung und Interpretation der dynamischen Modellierungen der Gruppen 1,2 und 3 sollten deren Flussdiagramme stets für alle sichtbar sein. Entweder erhalten alle Schülerinnen und Schüler der Klasse eine Fotokopie der Modelle oder die Modelle werden auf einer "Tapete" aufgezeichnet und in der Klasse ausgehangen.
Wichtig ist festzustellen, dass die Modelle immer abhängig vom Zweck der Untersuchung sind. Es gibt also immer auch alternative Modelle. Im obigen Fall werden Modelle untersucht, die aufeinander aufbauen.

Und: Zur Untersuchung dynamischer Systeme ist immer ein Computer-Werkzeug notwendig. Es gibt verschiedenartige Werkzeuge. Siehe hierzu: Werkzeuge zur Modellbildung: Beispiele zur selbstständigen Arbeit .
Das Werkzeug Excel ist aber ebenfalls geeignet, wenn die Modelle nicht zu komplex sind. Excel hat den Vorteil, dass es weit verbreitet und verfügbar ist. Siehe hierzu: Crash-Kurse: Einführung in die Nutzung von Excel.

Im Leistungskurs Mathe in Klasse 11 oder 12 kann ggf. auch der Zusammenhang des Systems aller Zustands- und weiteren Modellgleichungen mit einem Differenzengleichungssystem oder einem Differentialgleichungssystem hergestellt werden.
In jedem Fall sollte den Jugendlichen klar werden, dass wir es bei einer dynamischen Modellierung mit einer diskreten Mathematik zu tun haben. Diskret deshalb, weil alle Berechnungen Schritt für Schritt erfolgen und aufeinander aufbauen. Es gibt in der Regel keine geschlossenen algebraischen Ausdrücke (Funktionsterme) für die Zustandsgrößen in komplexen Systemen.

1. Dynamische Modellierungen führen zu Beschreibungen des Systemverhaltens von zweckbedingt, untersuchten Modellen und erlauben Aussagen darüber, wie eine Veränderung der "Stellschrauben" (Parameter) im System wirkt: in welcher Richtung ihre Veränderung verheerende oder günstige Auswirkungen hat. Erkenntnisse dieser Art, können dann handlungsleitend sein.
2. Funktionale Modellierungen führen zu Beschreibungen von Verläufen in der Vergangenheit und versuchen über Approximationen mit Trendlinien zu Prognosen für die nahe Zukunft zu gelangen. Prognosen sind immer unsicher! Erkenntnisse dieser Art sagen aber, wie es war und wie es ggf. sein wird, wenn sich die Bedingungen nicht ändern.

• Reale Probleme modellieren mit Mathematik - Didaktik der dynamischen Modellierung.

Bei der funktionalen Modellierung ist festzustellen, dass auf der Grundlage von Approximationen (ggf. durch lineare, quadratische oder exponentielle Trendlinien) Prognosen für die nahe Zukunft versucht werden. Dabei ist es wichtig, dass die Jugendlichen sich auch auseinander setzen mit:

• Modellierungen zur Unsicherheit einer Prognose
• Blicken in die Zukunft ...: Approximation, Extrapolation, Prognose

11. und weitere Unterrichtsstunden:

Übungen und Anwendungen
zur dynamischen Modellierung
in anderen
Wirklichkeits-Kontexten

• Umgang mit Komplexität: Netze und dynamische Systeme

Für weitere Übungen zur dynamischen Modellierung in anderen Anwedungskontexten wird verwiesen auf:

• die Erörterung von Lösungen zur Anwendung von Methoden der qualitativen Modellierung von dynamischen Systemen
• Testaufgaben zur qualitativen Modellierung von dynamischen Systemen (Das Angebot auf dieser Seite wird noch ausgebaut. Die Aufgaben sind auch in Klassenarbeiten nutzbar.)
• Projektideen mit realen Problemen
  (Zur Zeit sind es vier Projektideen, aber auch das Angebot auf dieser Seite wird ausgebaut.)