Euklid (330 - 275 v.Chr.) schrieb ein 13-bändiges Werk "Elemente", das über einen Zeitraum von 2000 Jahre die Basis für den Geometrieunterricht bildete. Euklids Aufbau der Geometrie zeigt die axiomatische Strenge mathematischer Systeme:

• Zwei verschiedene Punkte liegen auf genau einer Geraden.
• Jede Strecke kann unendlich zu einer Geraden verlängert werden.
• Zu jeder Strecke existiert ein Kreis mit der Strecke als Radius und einem Endpunkt als Mittelpunkt.
• Alle rechten Winkel sind kongruent.
• Das Parallelenaxiom: Wenn zwei Geraden eine dritte Gerade so schneiden, dass die Winkelsumme der inneren Winkel auf einer Seite kleiner ist als zwei rechte Winkel, dann schneiden sich die beiden Geraden auf dieser Seite.

Alle weiteren Sätze der Geometrie werden mittels zweiwertiger Logik (Wahr und Falsch) aus den Axiomen und bereits bewiesenen Sätzen abgeleitet.

Platons Ideenlehre

• "Die Dinge partizipieren insofern an der Ideenwelt, als die Ideen die urbildlichen Formen der Dinge sind." oder
• "Die Dinge haben an den Ideen teil." oder
• "Im Himmel liegen die Urbilder bereit, damit jeder, der guten Willens ist, sie sehe und sein eigenes Selbst danach gründe".

Platon lässt die vier Elemente, aus denen die Materie besteht, Wasser, Feuer, Luft und Erde aus regulären Polyedern entstehen. (Zum Beispiel: Das Feuer, das leichteste und schärfste Element, besteht aus Tetraedern, weil diese Körper die wenigsten Flächen und die meisten Spitzen aufweisen.) Alle Polyeder bestehen aber aus Ur-Dreiecken, diese aus Linien und diese wiederum aus Punkten. Und die Punkte sind abzählbar und lassen sich aus der EINS ableiten.

Euklid baut mit seinem Werk "Elemente" auf der platonischen Ideenlehre auf

Die Grundelemente der Geometrie Punkte, Geraden, Strecken und Winkel sind für Euklid Ideen im Sinne von Platons Ideenlehre.
Ein Punkt ist dimensionslos, er hat keinerlei Ausdehnung. Ebenso hat eine Gerade nur eine Dimension. Auf ihr liegen aneinander gereiht dimensionslose Punkte. Zeichnet man einen Punkt oder eine Gerade auf Papier, so ist dies lediglich ein Abbild von der Idee eines Punktes oder einer Geraden.
Drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, spannen eine Ebene auf. Eine Ebene hat zwei Dimensionen, sie ist ebenfalls ein ideales Gebilde. Das gilt auch für Figuren wie Dreieecke, Vierecke, Vielecke und Kreise, die Ausschnitte aus einer Ebene sind.
Betrachtet man in Wirklichkeit gezeichnete Punkte und Geraden unter dem Mikroskop so sind sie "zackige" räumliche Gebilde: auf das Papier geschmierten Bleistift-Moleküle.

Das moderne
Axiomensystem von Hilbert

Gegen Ende des 19ten Jahrhunderts wurde das Axiomensystem des Euklid zum Vorbild für den axiomatischen Aufbau der gesamten Mathematik.
Unter den modernen Axiomensystemen ist das von David Hilbert (1862 - 1943) am bekanntesten geworden (Grundlagen der Geometrie, Teubner 1899). Hilbert definiert im Gegensatz zu Euklid die Grundbegriffe implizit, indem er ausführt: "Wir denken drei verschiedene Systeme von Dingen:

• die Dinge des ersten Systems nennen wir Punkte und bezeichnen sie mit A,B,C,...;
• die Dinge des zweiten Systems nennen wir Geraden und bezeichnen sie mit a,b,c,...;
• die Dinge des dritten Systems nennen wir Ebenen und bezeichnen sie mit a,b,g,... .

Wir denken die Punkte, Geraden, Ebenen in gewissen gegenseitigen Beziehungen und bezeichnen diese Beziehungen durch Worte wie 'liegen', 'zwischen', 'kongruent', 'parallel', 'stetig'; die genaue und für die mathematische Zwecke vollständige Beschreibung dieser Beziehungen erfolgt aus den Axiomen der Geometrie", die er in fünf Gruppen aufteilt:

• Axiome der Verknüpfung (Inzidenz)
• Axiome der Anordnung
• Axiome der Deckungsgleichheit (Kongruenz)
• Axiom der Parallelen (Parallelenaxiom)
• Axiome der Stetigkeit (Archimedisches Axiom)

Die affine Geometrie ist eine Verallgemeinerung der Euklidischen Geometrie, in der zwar das euklidische Parallelenaxiom gilt, aber Abstand und Winkel keine Bedeutung haben.