Die Kugel ist ein dreidimensionaler Körper,
aber die Kugeloberfläche ist ein zweidimensionaler
Raum.
Es ist eine Fläche auf der andere Flächen
geometrisch untersucht und betrachtet werden können.
Auf der Kugeloberfläche
kann also eine Geometrie betrieben werden.
U.a. lassen
sich auch auf der Kugeloberfläche
Dreiecke, Vierecke, Vielecke zeichnen und untersuchen.
Das blaue Dreieck ist ein Beispiel für ein
Dreieck auf einer Kugeloberfläche zwischen
zwei parallelen Breitenkreisen.
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Nicht
euklidische Geometrieen
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Die Geometrie auf einer Kugeloberfläche
bei der die Summe der Innenwinkel in
einem Dreieck immer größer als 180
Grad ist, ist eine nicht euklische Geometrie.
Die nichteuklidische Geometrie unterscheidet
sich also von der euklidischen Geometrie dadurch,
dass hier das Parallelenaxiom nicht gilt. Das
bedeutet nicht, dass es in der mathematischen
Theorie als falsch ausgewiesen wurde. Es sagt
nur, dass es Geometrien gibt, die von unterschiedlichen
Axiomen ausgehen können und dass Axiome deshalb
nicht mehr wie früher üblich als selbstevidente
Sätze aufgefasst werden können.
In der nichteuklidischen Geometrie gilt, dass
es durch einen Punkt außerhalb einer Geraden
nicht nur genau eine Parallele gibt (es gibt also
entweder keine oder mehrere Parallelen). Gibt
es keine Parallelen, so spricht man von einer
elliptischen Geometrie, andernfalls
von einer hyperbolischen Geometrie.
Ein beliebtes Beispiel für eine elliptische
Geometrie ist eine zweidimensionale Geometrie
auf einer Kugeloberfläche. Eine wichtige
Anwendung der hyperbolischen Geometrie ist die
Beschreibung der Geometrie des Raumes in der Allgemeinen
Relativitätstheorie. Siehe auch:
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