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Differentialgleichungen werden oft benötigt,
um Vorgänge in der Natur zu beschreiben,
bei denen sich Größen in Abhängigkeit
von sich selbst verändern.
Die historisch ersten Differentialgleichungen
waren die der gleichmäßigen und ungleichmäßig
beschleunigten Bewegung. Im Jahr 1590 erkannte
Galileo Galilei den Zusammenhang zwischen der
Fallzeit eines Körpers und ihrer Fallgeschwindigkeit,
sowie dem Fallweg und formulierte mit noch geometrischen
Mitteln das Gesetz des freien Falles.
Als Isaac Newton auch Bewegungen unter zum Betrag
oder Quadrat der Geschwindigkeit proportionaler
Reibung betrachtete, war er genötigt, den
Differentialkalkül und den heute geläufigen
Formalismus der Differentialgleichungen einzuführen.
Durch die exakte Formulierung des Grenzwertbegriffes,
der Ableitung und des Integrals stellte schließlich
Augustin Louis Cauchy im 19. Jahrhundert die Theorie
der gewöhnlichen Differentialgleichungen
auf ein festes Fundament und machte sie somit
vielen Wissenschaften zugänglich.
Viele durch Differentialgleichungen beschriebene
Modelle beruhen auf Beobachtungen und Experimenten:
- Das Zerfallsgesetz der Physik etwa besagt,
dass die Anzahl der pro Zeiteinheit zerfallenden
Atome einer Menge instabiler Atome von der gesamten
Anzahl N der vorhandenen Atome abhängt.
Insofern ist die Abnahme der Anzahl der Atome
proportional zur Anzahl aller Atome.
- Ein weiteres Beispiel ist die Räuber-Beute-Beziehung
der Ökologie. Diese beschreibt nach dem
Volterra-Gesetz die zeitliche Veränderung
der Räuberpopulation r und der Beutepopulation
b bei konstanten natürlichen Geburtenraten
Z und Sterberaten M:
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Eine Differential- bzw. Differenzialgleichung
(oft abgekürzt mit DGL) ist eine Gleichung,
die die Ableitungen einer Funktion enthält.
Eine Vielzahl von Phänomenen in Natur und Technik
kann durch Differentialgleichungen und darauf aufbauende
mathematische Modelle beschrieben werden. Einige
typische Beispiele sind
- in der Physik verschiedene Arten von Bewegungen,
von Schwingungen oder das Belastungsverhalten
von Bauteilen,
- in der Astronomie die Bahnen der Himmelskörper
und die Turbulenzen im Innern der Sonne,
- in der Biologie etwa Prozesse bei Wachstum,
bei Strömungen oder in Muskeln,
- in der Chemie die Reaktionskinetik von Reaktionen.
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