Wird für beliebige Zahlen einer Definitionsmenge die Variable x eingeführt und genutzt, dann lassen sich die beiden zuvor beschriebenen Vorschriften (Zuordnungen) wie folgt schreiben:

Häufig werden die Funktionsterme mit der Variablen y oder f(x) bezeichnet. Wird die Definitionsmenge mit dem Buchstaben D bezeichnet, so lassen sich die vorstehenden Zuordnungsvorschriften auch als Funktionsgleichungen wie folgt schreiben:

y = x², x ε D oder
f(x) = x², x ε D

Jedes Zahlenpaar, das in die Funktionsgleichung eingesetzt wird und sie zu einer wahren Aussage macht, heißt Lösung der Funktion(sgleichung).

In den vorstehenden Wertetafeln, die zu den Funktionen gehören, stehen Lösungen der jeweiligen Funktion. Werden die Zahlenpaare der Wertetafel in die jeweilige Funktionsgleichung eingesetzt, so wird die Gleichung zu einer wahren Aussage. Auch jeder Punkt auf den Graphen der Funktionen ist eine Lösung. Denn wird das Zahlenpaar, das zum Punkt gehört, in die jeweilige Funktionsgleichung eingesetzt, so entsteht eine wahre Aussage. Funktionen, die über N, Z, Ra oder Re definiert werden, haben in der Regel unendlich viele Lösungen. Der Graph der Funktion stellt jeweils die Lösungmenge der Funktionsgleichung anschaulich dar.

In der ("reinen") Mathematik werden bei Abhängigkeiten zwischen Größen nur die Maßzahlen der Größen in Zusammenhang gebracht. Es werden also nur natürliche, ganze, rationale und reelle Zahlen in Zusammenhang gebracht. Das ist aber eine Abstraktion von dem bedeutungsvollen Inhalt, der an den Größen hängt.

(im Aufbau)

Durch diese Abstraktion entsteht ein neuer, eigenständiger Inhalt - eine neue Realität - nämlich die der Analysis. Sie wurde von Newton und Leibniz, quasi gleichzeitig, erfunden. Insbesondere für Newton hatte sie aber einen ganz bestimmten Zweck, denn er wollte Bewegungsabläufe besser verstehen. Heute wird die Analysis häufig zweckfrei, gewissermaßen als mathematischer Selbstzweck, unterrichtet.

Die abstrakte Analysis ist eine eigenständige "Sprache" mit eigener Semiotik (Lehre von den Zeichen), Syntax (Lehre vom Satzbau) und Semantik (Lehre von der Bedeutung). Es ist eine Metasprache, mit der Abhängigkeiten in Naturwissenschaft und Technik, in Sozialwissenschaft und Politik, in Ökonomie (Wirtschaft) und Finanzen, in Medizin und Sport beschrieben werden können und so in ihren wesentlichen Zusammenhängen klarer erkannt und besser verstanden werden können. So werden gewissermaßen "Stellschrauben" deutlich, an denen gedreht werden könnte, um die Welt human- und sozialverträglicher zu gestalten.
Zu diesem Zweck muss die abstrakte Aussage der Analysis immer wieder in die uns umgebende Realität zurück interpretiert werden. Sie muss wieder mit Leben gefüllt werden. Aus reinen Zahlen müssen wieder Größen werden!