Darstellung einer möglichen Lösungsidee

Hinweise:

Die Bearbeitung der folgenden Aufgaben kann Teil einer Gesamtlösung von mehreren arbeitsteilig arbeitenden Kleingruppen sein.

Beschreibung der erwerbaren inhaltlichen und allgemeinen mathematischen Kompetenzen bei der Arbeit an den folgenden Aufgaben

Die folgende Lösung zur Konstruktion und Simulation der Informationsweitergabe in einem hierarchischen Netz wird in einer Teilgruppe der Klasse erarbeitet. Sie ist Teil einer Gesamtlösung, bei der eine andere Gruppe der Klasse parallel arbeitet an der Konstruktion und Simulation einer "gebremsten" Informationsweitergabe in einem hierarchischen Netz. Wieder eine andere Gruppe arbeitet an der Konstruktion und Simulation eines "verzweigten" aber gerichteten Netzwerkes gegen akute Gewalt. Nach der Präsentation und Diskussion der Gruppenlösungen in der Klasse wird gemeinsam eine Aktionen erarbeitet.
Für die Erarbeitung der nachfolgenden Lösung und deren Formulierung sind etwa 3 bis 4 Schulstunden notwendig, wenn auch Teilaufgaben zu Hause erledigt werden. Der Einsatz eines Werkzeugs z.B. Excel ist notwendig. Für eine Diskussion und Aktionsvorbereitung in der Klasse sind dann noch einmal 1 bis 2 Schulstunden notwendig.

Konstruiert zunächst die beiden folgenden hierarchischen Netze: Im Netz A gibt ein Jugendlicher eine Nachricht an zwei und im Netz B an drei andere Jugendliche weiter. Und alle Informierte geben dann die Nachricht wieder an zwei bzw. drei andere weiter. usw.

Berechnet die Zahl der jeweils Informierten in einer Tabelle.

Die folgende Tabelle zeigt die Anfangsberechnungen für die Weitergabe einer Information in einem hierarchischen Netz. Die Nachricht geht immer an alle alt und neu Informierte an zwei (Netz A) bzw. an drei andere (Netz B) Kinder oder Jugendliche weiter.

Konstruiert nun ein dynamisches Modell für die Weitergabe einer Nachricht in hierarchischen Netzen so, dass die Information zu Beginn auch von 2, 3, ... Jugendlichen ausgehen kann.

Beschreibt das Modell in Form eines Flussdiagramms

Die so berechnete Weitergabe einer Information lässt sich auch durch das folgende Flussdiagramms beschreiben. Wobei der Ausgang der Information von 2, 3 oder mehr Jugendlichen in diesem Modell die variable Anfangsgröße ist.

Informierte_neu <-- Informierte_alt + Δt · Zuwachs_Informierte; Anfangsgröße = 1
Δt = 1 (1 Zeittakt = 5 Minuten)
Der Ausgang der Nachricht von 2 oder 3 oder mehr Kindern und Jugendlichen verbirgt sich in der Anfangsgröße.
Zuwachs_Informierte = Faktor_Weitersagen · Informierte
Faktor_Weitersagen = 2

Programmiert die Zustands- und Modellgeichungen in einer Excel-Tabelle.

Simuliert unterschiedliche Ausbreitungen von Nachrichten und auch wie schnell alle Schülerinnen und Schüler einer Schule erreicht worden sind.

Siehe hierzu:
ExcelDateien/Mappe1118a.htm (nur zur Ansicht) oder ExcelDateien/Mappe1118a.xls (herunterladbar und interaktiv)

Sowohl die Anfangsgröße als auch der Faktor_Weitersagen werden abwechselnd um eine ganze Zahl erhöht.
In der Tabelle und auch im Punkt-Diagramm ist jeweils ablesbar, nach welcher Zeit alle Schüler und Schülerinnen einer Schule erreicht worden sind. Je größer die Anfangsgröße und je größer der Faktor_Weitersagen ist, um so schneller sind alle Kinder informiert.
Bei einer Anfangsgröße 3 und einem Faktor_Weitersagen 3 sind bereits nach 20 Minuten alle Kinder einer Schule mit ca. 600 Schülern und Schülerinnen informiert.

Konstruiert nun Modelle für die Weitergabe einer Nachricht, die unterschiedliche (unterschiedlich starke) "Bremsmöglichkeiten" bei der Ausbreitung berücksichtigt.

Beschreibt auch diese Modelle in Form eines Flussdiagramms.

Modell 2: In diesem Modell wird angenommen, dass immer ein bestimmter (gleichbleibender) Anteil bereits informiert ist.

Modell 3: In diesem Modell wird angenommen, dass der Anteil der bereits Informierten mit der Zahl der Informierten steigt.

Modell 2:

Informierte_neu <-- Informierte_alt + Δt · (Zuwachs_Informierte - Bereits_Informierte); Anfangsgröße = 1
Δt = 1 (1 Zeittakt = 5 Minuten)

Zuwachs_Informierte = Faktor_Weitersagen · Informierte
Bereits_Informierte = Bremsfaktor · Informierte
Faktor_Weitersagen = 2
Brems_Faktor = 0,5

Modell 3:

Informierte_neu <-- Informierte_alt + Δt · (Zuwachs_Informierte - Bereits_Informierte); Anfangsgröße = 10
Δt = 0,01 (1 Zeittakt soll = 1 Minute sein)

Zuwachs_Informierte = Faktor_Weitersagen · Informierte
Bereits_Informierte = Bremsung · Informierte_alt
Bremsung = Informierte_alt · Bremsfaktor
Faktor_Weitersagen = 2
Brems_Faktor = 0,002

Programmiert die Zustands- und Modellgeichungen in einer Excel-Tabelle.

Anmerkung: Zur Programmierung siehe: Crash-Kurse: Einführung in die Nutzung von Excel

Zu Modell 2 siehe:
ExcelDateien/Mappe1118b1.htm (zur Ansicht) oder ExcelDateien/Mappe1118b1.xls (herunterladbar und interaktiv)

Zu Modell 3 siehe:
ExcelDateien/Mappe1118b3.htm ( zur Ansicht) oder ExcelDateien/Mappe1118b3.xls (herunterladbar und interaktiv)

Simulationen im Modell 2 zeigen, dass die Zahl der Informierten immer noch exponentiell steigt. Es dauert gegenüber dem ersten Modell nur etwas länger, bis alle Kinder oder Jugendlichen der Schule von der Nachricht erreicht werden. Das sagen auch die Funktionsvorschriften.

Simulationen im Modell 3 zeigen, dass sich die Zahl der Informierten einer oberen Grenze nähert. Der Zeittakt wurde in diesem Fall sehr klein gehalten und für Zahl der Informierten wurden Zahlen mit zwei Nachkommastellen zugelassen. So entsteht ein rechnerisch dichter (nahezu stetiger) Vorgang für die Weitergabe der Information. (Natürlich gibt es nur ganze Menschen.) Aber die obere Grenze hängt entscheidend vom Bremsfaktor ab. Bei einem starken Bremsfaktor werden nicht einmal alle Kinder und Jugendlichen der Schule erreicht. Wachstumskurven dieser Art heißen logistisch.

Wird aber im Modell 2 der Zeittakt auf 1 vergröbert und der Brems_Faktor mit 0,003 angenommen, so ergibt sich eine Kurve, die im maximalen Bereich hin und her schwankt.

Zu Modell 3 siehe:
ExcelDateien/Mappe1118b2.htm ( zur Ansicht) oder ExcelDateien/Mappe1118b2.xls (herunterladbar und interaktiv)

Annahmen für ein weiteres gebremstes Weitergabemodell:

In diesem Weitergabemodell soll ab der 2. Runde die Zahl der Neu-Infizierten von der Rundenzahl linerar abhängig gemacht werden. Die Zahl der Informierten soll gebremst erscheinen. Simulationen für Δt zeigen aber schnell die Grenzen dieses Modells.

Siehe hierzu:
ExcelDateien/Mappe1118d.htm (zur Ansicht) oder ExcelDateien/Mappe1118d.xls (herunterladbar und interaktiv)