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Exponential-, Logarithmus- und logistische Funktionen
Überlineares Wachstum

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Zwei Beispiele:

  Wachstum ist dadurch gekennzeichnet, dass die unabhängige Größe die Zeit ist. Wachstumsprozesse nennt man überlinear, wenn die von der Zeit abhängige Größe in gleichen Zeitabständen immer stärker ansteigt oder abnimmt.
   
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Zeittakt
1
2
3
4
...
Erreichte Menschen
2
4
8
16
...
 
Zeit (Monate)
1
4
8
12
...
Kapital (Euro)
10300
11255
12667
14257
...
     
     

Über-Lineares Wachstum:

... geschrieben als
Menge geordneter Paare

 

Die beiden voneinander abhängigen Größen beim Weitersagen bilden jeweils ein Paar. Es ist auf folgende Weise geordnet: man nennt in dem Paar immer die unabhängige Größe (den Zeittakt n) zuerst und dann die dazu berechnete, abhängige Größe. Beispiel:

Zeittakt (n) / Erreichte (E): {(1/2), (2/4), (3/8), (4/16), ...(n/2^n) ..}
(2^n bedeutet: 2 hoch n)

     
... geschrieben als
Paarmenge und Graph
  Den einzelnen (Zahlen)Paaren entsprechen jeweils die "Kreuze" in dem linken oberen Graphen. Die geordneten Zahlenpaare können also als Punkte in ein geeichtes Koordinatensystem eingezeichnet werden. Auf der waagerechten Achse wird die unabhängige Größe und auf der dazu senkrechten Achse die abhängige Größe eingetragen.
Beide obige Graphen steigen mehr als linear an und überschreiten jede obere Schranke. Oder: die Graphen fallen mehr als linear und unterschreiten jede untere Schranke.
     
... geschrieben als Funktionsgleichung
oder Zuordnung












 

Das Wachstum des Weitersagens lässt sich als Paarmenge mit einer Funktionsgleichung vollständiger wie folgt schreiben:

{(n/E): E = 2^n}
gelesen:
Menge aller Paare (n/E) für die gilt: E = 2 hoch n

Natürlich lässt sich das Wachstum des Weitersagens auch als Zuordung oder Funktionsgleichung schreiben.

n --> E, für E =2^n

Für die unabhängige Variable (hier: Zeittakt n) muss die Definitionsmenge und für die abhängige Variable die Wertemenge angegeben werden, für die die Funktionsgleichung bzw. die Zuordnung jeweils einen Sinn ergibt.

     
Symbolische Schreibweise für unterschiedliches Wachstum
  Wachstumsprozesse lassen sich in symbolischer Form wie folgt schreiben:
B(t) sei der Bestand der beobachteten Größe zum Zeitpunkt t
Dt sei der Zeitabschnitt zwischen zwei aufeinanderfolgenden Beobachtungszeitpunkten
B(t + Dt) sei der Bestand der Größe zum Zeitpunkt t+Dt
     
Über-lineares Wachstum
  Für das über-lineare Wachstum gilt: DB = B(t + Dt) - B(t)
wird ständig größer oder ständig kleiner. Es gibt keine (obere oder untere) Schranke.
Wachstumsprozesse bei denen die beobachtete Größe in gleichen Zeitabständen immer stärker ansteigt oder abnimmt nennt man über-linear.
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