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Grundbegriffe und Eigenschaften von Funktionen
Funktionsgleichung und ihre Lösungsmenge

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Beispiel 1:

  Die Kosten k eines Gutes stehen im funktionalen Zusammenhang mit der gekauften Menge m des Gutes; wobei der Preis p = 0,60€/1kg eine Konstante sein soll.
     

Darstellung des Zusammenhangs als Funktionsgleichung

 

siehe hierzu auch:
Gleichung und Lösungsmenge

 

 
Menge (kg)
0
0,25
0,5
0,75
1
1,5
2
...
Kosten (€)
0
0,15
0,30
0,45
0,60
0,90
1,20
...

In der Wertetabelle sind die zugeordneten Werte als Wertepaare (Menge/Kosten) dargestellt.
Kennt man die gekaufte Menge m und den konstanten Preis p, so können die Kosten k mittels der Gleichung (Rechenvorschrift) berechnet werden:

k = 0,6€/1kg · m

Die Gleichung enthält zwei Variable, wovon m die unabhängige und k die abhängige Variable ist. Mit anderen Worten: Die Mengen werden vorgegeben und die Kosten berechnet. Und: Diese Zuordnung ist eindeutig: die Gleichung ist eine Funktionsgleichung.
     
Darstellung des Zusammenhangs als Lösungsmenge
der Funktionsgleichung
 

Werden die Wertepaare aus der obigen Wertetabelle in die Funktionsgleichung eingesetzt, so wird die Gleichung wahr! Alle Wertepaare aus der Wertetabelle sind also eine Lösung der Funktionsgleichung. Und: Davon gibt es unendlich viele.
Die komplette Lösungsmenge lässt sich wie folgt schreiben:

{(m/k) / k = 0,6€/1kg · m} m ist irgendeine positive Zahl

gesprochen: Menge aller Paare (m/k) für die gilt k = 0,6€/1kg · m
     

Beispiel 2:

  Die Fläche I eines Quadrats steht im Zusammenhang mit seiner Seitenlänge a
     
Darstellung des Zusammenhangs als Funktionsgleichung
Seitenlänge (cm)
0
0,25
0,5
0,75
1
1,5
2
...
Flächeninhalt (cm²)
0
0,0625
0,25
0,5625
1
2,25
4
...

In der Wertetabelle sind die zugeordneten Werte als Wertepaare (Seitenlänge/Flächeninhalt) dargestellt.
Kennt man die Seitenlänge a, so können die Flächeninhalte I mittels der Gleichung (Rechenvorschrift) berechnet werden:

I = a · a = a²

Die Gleichung enthält zwei Variable, wovon a die unabhängige und I die abhängige Variable ist. Mit anderen Worten: Die Längen werden vorgegeben und die Flächeninhalte berechnet. Und: Diese Zuordnung ist eindeutig: die Gleichung ist eine Funktionsgleichung.
 
Darstellung des Zusammenhangs als Lösungsmenge
der Funktionsgleichung

Werden die Wertepaare aus der obigen Wertetabelle in die Funktionsgleichung eingesetzt, so wird die Gleichung wahr! Alle Wertepaare aus der Wertetabelle sind also eine Lösung der Funktionsgleichung. Und: Davon gibt es unendlich viele.
Die komplette Lösungsmenge lässt sich wie folgt schreiben:

{(a/I) / I = a²} a ist irgendeine positive Zahl

gesprochen: Menge aller Paare (a/I) für die gilt I = a²
 

Beispiel 3:

Der Weg s steht in Abhängigkeit zur (im Zusammenhang mit der) Fahrtzeit t; wobei die Geschwindigkeit v = 40km/1h konstant bleiben soll.
 
Darstellung des Zusammenhangs als Funktionsgleichung
Fahrtzeit (h)
0
0,25
0,5
0,75
1
1,5
2
...
Weg (km)
0
0,0625
0,25
0,5625
1
2,25
4
...

In der Wertetabelle sind die zugeordneten Werte als Wertepaare (Fahrtzeit/Weg) dargestellt.
Kennt man die Fahrtzeit t, so können die Wege s mittels der Gleichung (Rechenvorschrift) berechnet werden:

s = 40km/1h · t

Die Gleichung enthält zwei Variable, wovon t die unabhängige und s die abhängige Variable ist. Mit anderen Worten: Die Fahrtzeiten werden vorgegeben und die Wegstrecken berechnet. Und: Diese Zuordnung ist eindeutig: die Gleichung ist eine Funktionsgleichung.
 
Darstellung des Zusammenhangs als Lösungsmenge
der Funktionsgleichung

Werden die Wertepaare aus der obigen Wertetabelle in die Funktionsgleichung eingesetzt, so wird die Gleichung wahr! Alle Wertepaare aus der Wertetabelle sind also eine Lösung der Funktionsgleichung. Und: Davon gibt es unendlich viele.
Die komplette Lösungsmenge lässt sich wie folgt schreiben:

{(t/s) / s = 40km/1h · t} t ist irgendeine positive Zahl

gesprochen: Menge aller Paare (t/s) für die gilt s = 40km/1h · t
 
 
     
Ideen für mögliche, selbstorganisierte
Übungen:
 

Abhängigkeiten oder Zuordnungen lassen sich unterschiedlich darstellen. Dadurch ändert sich aber die Abhängigkeit oder Zuordnung nicht.

  • Stellt weitere selbst gewählte Abhängigkeiten als Funktionsgleichung und deren Lösungsmenge dar.
  • Prüft euch gegenseitig, ob ihr es könnt.

Diskutiert miteinander, wie ihr prüfen könnt, ob eine Zuordnung eine Funktion ist oder nicht.

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