blikk info infothek forum galerie sitemap

Exponential-, Logarithmus- und logistische Funktionen
Begrenztes Wachstum

anfang zurueck weiter ende nach oben


Zwei Beispiele:

  Wachstum ist dadurch gekennzeichnet, dass die unabhängige Größe die Zeit ist. Wachstumsprozesse nennt man begrenzt, wenn die von der Zeit abhängige Größe zwar ansteigt oder abnimmt aber eine obere oder untere Schranke existiert.
   
Ausbreitung von HI-Viren in der Vergangenheit   Leistung-Zeit-Wachstum bei W = 80 J
     




Tabelle zum nebenstehenden Graph >>>>>>

Zeit (s)
0,5
1
1,5
2
...
Leistung (W)
160
80
53,33
40
...
 
     
     

Begrenztes Wachstum:

... geschrieben als
Menge geordneter Paare

 

Die beiden voneinander abhängigen Größen bei der Zeit/Leistung Abhängigkeit bilden jeweils ein Paar. Es ist auf folgende Weise geordnet: man nennt in dem Paar immer die unabhängige Größe (die Zeit) zuerst und dann die dazu berechnete, abhängige Größe. Beispiel:

Zeit (t) / Leistung (P): {(0,5/160), (1/80), (1,5/53,33), (2/40), ...}

     
... geschrieben als
Paarmenge und Graph
 

Diese geordneten Zahlenpaare können als Punkte in ein geeichtes Koordinatensystem eingezeichnet werden. Auf der waagerechten Achse wird die unabhängige Größe und auf der dazu senkrechten Achse die abhängige Größe eingetragen.
Der Graph für die Zeit/Leistung-Abhängigkeit ist eine Hyperbel (antiproportional oder umgekehrt proportional). Aber nicht alle Wachstumsgraphen für begrenztes Wachstum sind Hyperbeln (siehe oben links). Immer aber schmiegt sich der Graph bei zunehmender Zeit einer Parallelen zur waagerechten Achse an. Es gibt eine (obere oder untere) Schranke.

     

... geschrieben als
Funktionsgleichung
und Zuordnung











 

Das Wachstum der Leistung P in der Zeit lässt sich als Paarmenge mit einer Funktionsgleichung vollständiger wie folgt schreiben:

{(t/P): P = 80J : t }
gelesen:
Menge aller Paare (t/P)
für die gilt: P = 80J : t

Natürlich lässt sich das Wachstum der Leistung in der Zeit auch als Zuordung schreiben.

t --> P, für P = 80J : t
Für die unabhängige Variable (hier: t) muss die Definitionsmenge und für die abhängige Varible muss die Wertemenge angegeben werden, für die die Funktionsgleichung bzw. die Zuordnung jeweils einen Sinn ergibt.

siehe hierzu insbesondere:
Logarithmusfunktion - Systematisierungen
     
Symbolische Schreibweise für unterschiedliches Wachstum
  Wachstumsprozesse lassen sich in symbolischer Form wie folgt schreiben:
B(t) sei der Bestand der beobachteten Größe zum Zeitpunkt t
Dt sei der Zeitabschnitt zwischen zwei aufeinanderfolgenden Beobachtungszeitpunkten
B(t + Dt) sei der Bestand der Größe zum Zeitpunkt t+Dt
     
Begrenztes Wachstum
  Für das begrenzte Wachstum gilt: DB = B(t + Dt) - B(t)
strebt mit immer größer werdender Zeit gegen Null oder bewegt sich in Grenzen.
Wachstumsprozesse bei denen sich die beobachtete Größe mit zunehmender Zeit einer festen (oberen oder unteren) Schranke nähert (anschmiegt) oder sich zwischen einer oberen und unteren Schranke "bewegt", nennt man begrenzt.
nach oben