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Grundbegriffe und Eigenschaften von Funktionen
Gleichung und Lösungsmenge

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Term
 

Ein Term ist ein Rechenausdruck mit oder ohne Leerstellen.
Auch alle Zahlen sind Terme.
Beispiele für Terme: 5+3; 2+3+4+5+6; 3a + 5a - 4a; 4ab + 3ac - 2bc;
4a (a + 3c); (a+b)²; a² + 2ab + b²; a² - b²;
5·x + 7; 5·10 + x ²; ...

   
Gleichung
  Werden zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen verbunden, so entsteht eine Gleichung.

Beispiele:
  • 3a + 5a - 4a = 4a;
  • 5·x + 15 = 0;
  • 2·10 + x ² = 36;
  • ...
Eine Gleichung ist eine Aussage oder Aussageform bei der rechts und links von einem Gleichheitszeichen ein Term steht.
   

Lösung(en) einer Gleichung

 

 

 

Gesucht sind die Zahlen, die in die Gleichung eingesetzt, diese richtig (wahr) machen.

Beispiele:

    Die Gleichung 4x -5 = 7 hat die Lösung 3
    Die Gleichung 2·10 + x ² = 36 hat die Lösungen 4 und -4
    Die Gleichung 2(x-1) = 2x -2 hat unendlich viele Lösungen.

In der letzten Gleichung sind alle natürlichen Zahlen N oder ganzen Zahlen Z oder rationalen Zahlen Ra oder reellen Zahlen Re eine Lösung der Gleichung.
Man sagt: die Gleichung 2(x-1) = 2x -2 ist allgemeingültig.
     
Äquivalente Terme



siehe auch Übungen zum:
Umformen von Termen
 

Man sagt auch: die Terme 2(x-1) und 2x -2 sind äquivalent.

Weitere Beispiele für äquivalente Terme:

  • 3a + 5a - 4a ist äquivalent mit 4a
  • (a+b)² ist äquivalent mit a² + 2ab + b²
Umformungen von Termen haben den alleinigen Zweck, einen Term in einen einfacher zu handhabenden äquivalenten umzuformen.
     
Äquivalente Gleichungen


siehe auch Übungen zum:
Umformen von Gleichungen
  Die folgenden Gleichungen haben dieselbe Lösungsmenge.
  • 2·10 + x ² = 36 und
  • 20 + x ² = 36 und
  • x ² = 16
Man sagt: die Gleichungen sind äqivalent. Das Zeichen dafür ist das folgende <=> .
     
Äquivalenzumformungen
von Gleichungen
 

Umformungsregeln, die Gleichungen in äquivalente umformen, heißen Äquivalenzumformungen. Sie haben den alleinigen Zweck, die Lösungen der Gleichung schneller zu erkennen.

Zwei Beispiel für eine Äquivalenzumformungsregel:

  • Zwei Gleichungen sind äquivalent, wenn man die Terme in einer Gleichung durch äquivalente ersetzt.
  • Zwei Gleichungen sind äquivalent, wenn man auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Operation ausführt.
     
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  Strukturen erkennen 1, Abkürzungen verwenden;
Strukturen erkennen 2, formale Eigenschaften von Termen; Strukturen erkennen 3, numerische Eigenschaften von Termen. Äquivalenzumformungen; Quadratische Gleichungen 1 (Beweis der kleinen Lösungsformel); Quadratische Gleichungen 2 (Drei Lösungsmethoden); Graphische Darstellung der Äquivalenz.
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