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Euklid (330 - 275 v.Chr.) schrieb
ein 13-bändiges Werk "Elemente", das über
einen Zeitraum von 2000 Jahre die Basis für
den Geometrieunterricht bildete. Euklids Aufbau
der Geometrie zeigt die axiomatische Strenge mathematischer
Systeme:
- Zwei verschiedene Punkte
liegen auf genau einer Geraden.
- Jede Strecke kann unendlich
zu einer Geraden verlängert werden.
- Zu jeder Strecke existiert ein Kreis mit der
Strecke als Radius und einem Endpunkt als Mittelpunkt.
- Alle rechten Winkel sind
kongruent.
- Das Parallelenaxiom: Wenn
zwei Geraden eine dritte Gerade so schneiden,
dass die Winkelsumme der inneren Winkel auf
einer Seite kleiner ist als zwei rechte Winkel,
dann schneiden sich die beiden Geraden auf dieser
Seite.
Alle weiteren Sätze der Geometrie werden
mittels zweiwertiger Logik (Wahr und Falsch) aus
den Axiomen und bereits bewiesenen Sätzen
abgeleitet.
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Platons Ideenlehre
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Idee bedeutet für
Platon (427 bis 347 v. Chr.) das,
was wirklich ist und hinter und in dem Vielen liegt,
das wir Wirklichkeit nennen. Er unterscheidet zum
Beispiel die schönen Dinge von dem Schönen
selbst. Es gibt ein Schönes an sich, eine Idee
des Schönen. Und erst wenn diese Idee des Schönen
durch das schauende Denken erkannt wird, kann von
wirklicher Erkenntnis gesprochen werden. Neben dem
Schönen an sich gibt es für Platon die
Ideen des Guten und Wahren und Gerechten an sich.
Er sagt:
- "Die Dinge partizipieren insofern
an der Ideenwelt, als die Ideen die urbildlichen
Formen der Dinge sind." oder
- "Die Dinge haben an den Ideen teil."
oder
- "Im Himmel liegen die Urbilder bereit,
damit jeder, der guten Willens ist, sie sehe
und sein eigenes Selbst danach gründe".
Platon lässt die vier Elemente, aus denen
die Materie besteht, Wasser, Feuer, Luft und Erde
aus regulären Polyedern entstehen. (Zum Beispiel:
Das Feuer, das leichteste und schärfste Element,
besteht aus Tetraedern, weil diese Körper
die wenigsten Flächen und die meisten Spitzen
aufweisen.) Alle Polyeder bestehen aber aus Ur-Dreiecken,
diese aus Linien und diese wiederum aus Punkten.
Und die Punkte sind abzählbar und lassen
sich aus der EINS ableiten.
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Euklid baut mit
seinem Werk "Elemente" auf der platonischen
Ideenlehre auf
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Die Grundelemente der Geometrie
Punkte, Geraden, Strecken und Winkel sind
für Euklid Ideen im Sinne von Platons Ideenlehre.
Ein Punkt ist dimensionslos, er hat keinerlei
Ausdehnung. Ebenso hat eine Gerade nur eine Dimension.
Auf ihr liegen aneinander gereiht dimensionslose
Punkte. Zeichnet man einen Punkt oder eine Gerade
auf Papier, so ist dies lediglich ein Abbild von
der Idee eines Punktes oder einer Geraden.
Drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen,
spannen eine Ebene auf. Eine Ebene hat zwei Dimensionen,
sie ist ebenfalls ein ideales Gebilde. Das gilt
auch für Figuren wie Dreieecke, Vierecke,
Vielecke und Kreise, die Ausschnitte aus einer
Ebene sind.
Betrachtet man in Wirklichkeit gezeichnete Punkte
und Geraden unter dem Mikroskop so sind sie "zackige"
räumliche Gebilde: auf das Papier geschmierten
Bleistift-Moleküle.
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Das moderne
Axiomensystem von Hilbert
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Gegen Ende des 19ten Jahrhunderts wurde das Axiomensystem
des Euklid zum Vorbild für den axiomatischen
Aufbau der gesamten Mathematik.
Unter den modernen Axiomensystemen ist das von
David Hilbert (1862 - 1943) am
bekanntesten geworden (Grundlagen der Geometrie,
Teubner 1899). Hilbert definiert im Gegensatz
zu Euklid die Grundbegriffe implizit, indem er
ausführt: "Wir denken drei verschiedene Systeme
von Dingen:
- die Dinge des ersten Systems nennen wir Punkte
und bezeichnen sie mit A,B,C,...;
- die Dinge des zweiten Systems nennen wir
Geraden und bezeichnen sie mit a,b,c,...;
- die Dinge des dritten Systems nennen wir
Ebenen und bezeichnen sie mit a,b,g,... .
Wir denken die Punkte, Geraden, Ebenen in gewissen
gegenseitigen Beziehungen und bezeichnen diese
Beziehungen durch Worte wie 'liegen', 'zwischen',
'kongruent', 'parallel', 'stetig'; die genaue
und für die mathematische Zwecke vollständige
Beschreibung dieser Beziehungen erfolgt aus den
Axiomen der Geometrie", die er in fünf
Gruppen aufteilt:
- Axiome der Verknüpfung (Inzidenz)
- Axiome der Anordnung
- Axiome der Deckungsgleichheit (Kongruenz)
- Axiom der Parallelen (Parallelenaxiom)
- Axiome der Stetigkeit (Archimedisches Axiom)
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Affine Geometrie
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Die affine Geometrie ist eine Verallgemeinerung
der Euklidischen Geometrie, in der zwar das euklidische
Parallelenaxiom gilt, aber Abstand und Winkel
keine Bedeutung haben.
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