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Vertiefungen zur Geometrie

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Abbildung und Abbildungsgeometrie

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Abbildung

Mit der Abbildungsgeometrie
ist der Mathematiker
Felix Klein (1849 - 1925) eng verbunden.
  Um den grundlegenden Begriff einer Abbildung erklären zu können müssen eine Originalmenge (Menge von Originalpunkten) A und eine Bildmenge (Menge von Bildpunkten) B gegeben sein.

Unter einer Abbildung von A in B versteht man eine Vorschrift, die jedem Element aus A (jedem Originalpunkt) eindeutig ein bestimmtes Element aus B (ein Bildpunkt) zuordnet.
     
 
Über Felix Klein siehe:
   
 
     

Funktion

 

Der Abbildungsbegriff ist so allgemein, dass er auch den Begriff der Funktion umfasst: Eine Funktion f weist jedem Element einer Definitionsmenge A (einem "x-Wert") genau ein Element einer Zielmenge B (einen "y-Wert") zu.

     
Abbildungsgeometrie
  In der Abbildungsgeometrie werden geometrische Abbildungen daraufhin untersucht, welche Eigenschaften geometrischer Objekte bei einer Abbildung unverändert (invariant) bleiben.
Zur Abbildungsgeometrie gehören u.a. die in der Folge beschriebenen Kongruenzabbildungen und Ähnlichkeitsabbildungen.
Formal können Kongruenz- und Ähnlichkeitsabbildungen als Abbildungen der Zeichenebene oder des Raumes in sich selbst definiert werden.
     
Kongruenzabbildung
 

Unter einer Kongruenzabbildung (von lat. congruens = übereinstimmend, passend) versteht man eine geometrische Abbildung, bei der Form und Größe der abgebildeten Objekte gleich bleiben. Eine Kongruenzabbildung lässt die Entfernung zweier Punkte und die Winkelgrößen unverändert (invariant). Geraden werden auf Geraden und Winkel auf Winkel abgebildet. Beispiele für Kongruenzabbildungen sind:

  • Achsenspiegelung
  • Punktspiegelung
  • Drehung
  • (Parallel-)Verschiebung (Translation)
     
Ähnlichkeitsabbildung
 

Jede Abbildung, die man durch Hintereinanderausführung (Verkettung) von Kongruenzabbildungen und zentrischen Streckungen erhält, ist eine Ähnlichkeitsabbildung.

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