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Eigenschaften von Drehsymmetrien

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Gegeben sei ein Drehzentrum Z und ein Drehwinkel (in diesem Fall 90°).
Weiter seien gegeben: Ein beliebiger Originalpunkt A und sein Bildpunkt A', eine Originalgerade g und ihre Bildgerade g', eine Originalstrecke a und ihre Bildstrecke a'.

 
     
Dann lassen sich für eine Drehsymmetrie die vier nebenstehenden Eigenschaften finden und formulieren:
 
  • Die Strecken [ZA] und [ZA'] sind gleich lang. Original- und Bildpunkt haben von Z den gleichen Abstand.
  • Die Geraden ZA und ZA' bilden einen Winkel miteinander, der gleich dem Drehwinkel ist.
  • Original- und Bildstrecken sind gleich lang;
    es gilt: a = a'
  • Originalgerade g und Bildgerade g' schneiden sich und bilden einen Winkel miteinander, der gleich dem Drehwinkel ist.
     

Die Punktsymmetrie ist ein Spezialfall

  Zwei Figuren heißen punktsymmetrisch, wenn der Drehwinkel 180° beträgt.
     
 
     

Ideen für mögliche, selbstorganisierte
Übungen:

Grundkonstruktion:
P um M um einen Winkel drehen
Grundkonstruktion:
g um M um einen Winkel drehen

Dreieck: Umfang und Flächeninhalt (in Arbeit)
 

Gegeben sei ein beliebiges Dreieck ABC und ein Drehwinkel.

  • Konstruiert das Bilddreieck A'B'C' (siehe die Figur oben).
  • Bestätigt an dieser Konstruktion die oben aufgezählten Eigenschaften der Drehsymmetrie.
  • Berechnet die Flächeninhalte von ABC und A'B'C' und vergleicht sie miteinander. Könnt ihr eine weitere Eigenschaft der Drehsymmetrie vermuten?
  • Wie müsst ihr euch drehen, wenn ihr in ABC und A'B'C' den Buchstaben folgt? Ist der "Drehsinn" in beiden Dreiecken der gleiche? Gibt es einen Unterschied zur Achsensymmetrie?

Gegeben seien regelmäßige ebene Figuren, wie unten in den Abbildungen.

  • Wie viele Spiegelachsen haben ein Quadrat und ein Rechteck?
  • Wie viele Spiegelachsen haben ein gleichseitiges Dreieck, Sechseck, Achteck ... ?
  • Dreht man ein Quadrat um 0°, 90°, 180° und 270°, so kommt es mit sich zur Deckung. Man spricht von einer vierstrahligen Drehsymmetrie.
  • Bei welchen Winkeln kommt ein Rechteck, eine Raute, ein gleichseitiges Dreieck, Sechseck, ... mit sich zur Deckung?
 
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