Darstellung einer möglichen Lösungsidee

Hinweise:

Die Bearbeitung der Aufgabe ist Teil einer Gesamtlösung von arbeitsteilig arbeitenden Gruppen.

Beschreibung der erwerbaren inhaltlichen und allgemeinen mathematischen Kompetenzen bei der Arbeit an den folgenden Aufgaben

Die folgende Lösung zur Analyse des Schwindes des Regenwaldes am Amazonas kann in einer Teilgruppe der Klasse erarbeitet werden. Sie ist Teil einer Gesamtlösung, bei der andere Gruppen der Klasse parallel an einer Analyse zum Schwinden der Arten arbeitet. Nach der Präsentation der Gruppenlösungen in der Klasse werden gemeinsam Folgerungen erarbeitet und diskutiert, die auch das Verhalten von Staaten und Gesellschaften mit einbeziehen.

Für die Erarbeitung der nachfolgenden Lösung und deren Formulierung sind etwa 3 - 4 Schulstunden notwendig, wenn das Werkzeug Excel bekannt ist und Teile dieser Arbeiten auch als Hausarbeit angefertigt werden. Für die Besprechung aller Analysen in der Klasse sind dann noch einmal ca. 2 Schulstunden notwendig.

Das Schrumpfen des Regenwaldes am Amazonas ist bedrohlich. Wir stellen das Schrumpfen mit Hilfe des Werkzeugs Excel in einem Punktdiagramm dar und approximieren versuchsweise (also experimentell) mit Hilfe von Excel das Schwinden der Wälder auf der Datengrundlage der bdw

a) polynomisch mit einer Funktion dritten Grades

y = 0,0134x³ - 0,6659x² + 4,2525x + 15,542

siehe: ExelDateien/Mappe1926b.htm
oder: ExelDateien/Mappe1926a.xls

b) polynomisch mit einer Funktion vierten Grades

y = 0,0572x(hoch4) - 1,0154x³ + 5,1066x² - 6,0351x + 18,011

siehe: ExelDateien/Mappe1926b.htm
oder: ExelDateien/Mappe1926b.xls

und c) mit einer Funktion dritten Grades nach Auslassen der Werte für die Jahre 1999 und 2000, um so den Verlauf in den letzten Jahren genauer "zu sehen".

y = 0,2768x³ - 3,5287x² + 10,365x + 16,927

siehe: ExelDateien/Mappe1926c.htm
oder: ExelDateien/Mappe1926c.xls

Die erste Approximation zeigt den Verlauf des Schrumpfens der Wälder am Ungenauesten. Für die weiteren Untersuchungen und Rechnungen entscheiden wir uns für die letzte Approximation.

y = 0,2768x³ - 3,5287x² + 10,365x + 16,927

Sie zeigt, wie das Schrumpfen der Wälder zunächst ansteigt, dann abfällt und wieder ansteigt.
In dem Funktionsterm runden wir aber für die weiteren Rechnungen die Koeffizienten auf eine Stelle hinter dem Komma auf und tun so, als wäre die Funktion über Re definiert.

y = 0,3x³ - 3,5x² + 10,4x + 17; x ε Re

Von dieser Funktion können wir sodann die Ableitungsfunktion bilden:

y' = 0,9x² - 7x + 10,4; x ε Re

und in der eingeübten Weise die Minima und Maxima des Schrumpfens berechnen. Wir erhalten als Maximum x ≈ 2 (Jahr 2003) und
als Minimum x ≈ 6 (Jahr 2007).

Der erneute Anstieg der Abholzung der Regenwälder im Jahr 2008 (im Jahr 7 nach 2001) lässt sich ebenfalls mittels der Ableitungsfunktion berechnen.

f(x)’(7) =5,5

Für das Jahr 2008 kann man nach dieser Prognose mit einer Zunahme der Abholzung von 5500 Quadratkilometern rechnen. Würde man mit diesem Anstieg die Abholzungsfläche linear hochrechnen [f(x) = 5,5x + 12], so ergäbe sich im Jahr 2009 eine Fläche von rund 17500 Quadratkilometern und im Jahr 2010 eine Abholzungsfläche 23000 Quadratkilometern. Da der Amazonas-Regenwald eine Fläche von insgesamt 6,7 Millionen Quadratkilometern hat, wäre er bei dieser linearen Trendberechnung in etwa 47 Jahren - im Jahr 2055 - verschwunden!!!

Natürlich lassen sich die Trends der Abholzung auch mit dem obigen Funktionsterm berechnen.

y = 0,2768x³ - 3,5287x² + 10,365x + 16,927

Dann wäre der Regenwald bereits sehr viel früher etwa in etwa 25 Jahren verschwunden!!!

Die Schwankungen in der weltweiten Nachfrage nach Edelhölzern und Soja als Futtermittel wirken sich auf die Abholzung der Regenwälder aus. Und die brasilianische Umweltbehörde kann mangels finanzieller Ressourcen kaum gegen international agierende Holzkonzerne und Soja-Exporteure angehen.
Zum Beispiel legten Anfang 2007 die Preise für Soja und Palmöl wieder zu. Und in dieser Folge erhöhte sich 2007 die Abholzung der Regenwälder am Amazonas erneut.

Approximiert das Schrumpfen der Regenwälder auf der Grundlage beider Datenbestände jeweils mittels einer linearen Approximation und vergleicht sie.

Auf der Grundlage der Daten der brasilianischen Regierung zur Abholzung des Regenwaldes von 1989 bis 2004 ergänzt um die Daten aus der bdw ergibt sich die folgende lineare Approximation:

y = 0,116x + 16,472

siehe: ExelDateien/mappe1926d.htm
oder: ExelDateien/mappe1926d.xls

In das Punkt-Diagramm zu den Daten der brasilianischen Regierung ist auch eine polynomische Trendlinie 6. Grades eingezeichnet. Sie belegt (macht deutlicher), dass eine lineare Approximation eine mögliche Prognosen erlaubt.

Auf der Grundlage der Daten in der bdw 3/2009 (Bild der Wissenschaft) ergibt sich ab 2001 die folgende lineare Approximation:

y = - 1,6048x + 24,192

siehe: ExelDateien/mappe1926e.htm
oder: ExelDateien/mappe1926e.xls

Prognostiziert mittels der linearen Approximationen, welche Abholzungen in 5 oder 10 Jahren möglich sein können.

Diskutiert aber miteinander, welche Unsicherheiten in einer Prognose stecken können und entwickelt dazu extreme Szenarien.

Die linearen und polynomischen Approximationen können als unterschiedliche Szenarien für Prognosen betrachtet werden. Sie ergeben dann die folgenden Zahlen.

Auf der Grundlage der linearen Approximationen haben wir zu rechnen
a) in 5 Jahren mit einer Abholzung zwischen 4934,4 km² und 19256 km² sowie
b) in 10 Jahren mit einer Abholzung zwischen 0 km² und 19836 km² Nehmen wir noch die extreme Prognose auf der Grundlage der polynomischen Approximation durch: y = 0,2768x³ - 3,5287x² + 10,365x + 16,927; x ε Re (bdw) hinzu, dann ergibt sich bereits in 5 Jahren eine Abholzung von 111484,6 km².

(Anmerkung: Die Steigung der polynomischen Funktion im Jahre 7 beträgt bereits 5,5. Und diese Steigung ist im Vergleich zu den Steigungen der beiden linearen Approximationen sehr hoch!)

Die Unsicherheiten in der Prognose sind zwar gewaltig je nachdem welche Approximation gewählt wird. Es ist aber anzunehmen, dass die abgeholzte Fläche von Jahr zu Jahr größer werden wird. Also die Abschätzungen auf der Grundlage der Daten der brasilianischen Regierung am ehesten zutreffen dürfte, da die Nachfrage z.B. nach Soja als Futtermittel in der EU in den nächsten 5 Jahren nicht wesentlich nachlassen wird.

Zum Schluss eine Zuspitzung in der Interpretation: Wollen wir den Regenwald erhalten, so müssen wir Menschen weniger Fleisch essen. Genau daran sieht man aber, dass nicht alleine die Ökonomie, sondern auch das menschliche Verhalten eine große Rolle spielt. Eine Verhaltensänderung von "Verbrauchern" wäre notwendig, um die ökonomischen Verhältnisse zu ändern.

Diese Erkenntnisse können in einer Diskussion in der Klasse verstärkt und ergänzt werden. Dann können sie als Stellungnahme wohl auch an die (örtliche) Presse weitergegeben werden.