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Experimentelle Mathematik bei systemdynamischen Modellierungen
Anmerkung: Beispiele für die Nutzung von Werkzeugen durch die Schülerinnen und Schüler, falls solche existieren, sind jeweils bei den realen Problemen zu finden.
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Systemdynamische Aufgaben können von überschaubaren bis hin zu zunächst unüberschaubaren realen Problemen reichen. Systemdynamische Methoden besitzen im Allgemeinen einen stark experimentellen Charakter und führen nicht immer zu eindeutigen, Ergebnissen. Bei dieser Form des Mathematik-Treibens tritt also an die Stelle der Frage “Ist das richtig oder falsch?“ die Frage „Inwieweit ist dieses Modell ... passend, brauchbar oder geeignet?“ Aber trotz eines immer wieder begründeten und geforderten erweiterten Verständnisses von Mathematik, muss auch heute noch festgestellt werden, dass ein Wechsel weg von der alleine vorherrschenden dualen „wahr-falsch“-Logik überhaupt noch nicht akzeptiert wird. Dies sowohl in der schulischen Mathematik als auch in der Fachwissenschaft. Und auch Jugendliche wollen wegen des vorhergegangenen Mathematik-Unterrichts wissen, ob sie ein Beispiel „richtig“ gelöst haben oder nicht. Wenn man z.B. mit Jugendlichen oder auch mit Studierenden des Lehramtes Mathematik über verschiedene Wirkungsdiagramme oder über robuste Werte für Größen diskutiert, die jeweils verschiedene Standpunkte zum selben realen Problem darstellen, dann kommt unweigerlich die Frage „Und welches dieser Diagramme oder welcher dieser Werte ist jetzt richtig?“ Dass keines dieser Diagramme und keiner dieser Werte „richtig“ und alle anderen zwingend logisch „falsch“ sind, bereitet teilweise großes Unbehagen und wird dann abgetan mit dem Argument: „Wenn es hier kein richtiges Diagramm und keinen richtigen Wert gibt, dann ist das Ganze auch keine Mathematik mehr!“ (Ossimitz, 2000, Seite 103). Kommunikative Auseinansetzungen mit dem jeweiligen Anwendungsbereich, für den die Mathematik Erkenntnisse bereitstellt, besitzen daher eine erhöhte Bedeutung. Daher sind Mathematiklehrerinnen und der Mathematiklehrer in einem Unterricht, in dem systemdynamische Methoden angewendet werden, als kompetente Laien gefragt.
Zur Unterstützung einer experimentellen Mathematik, gerade auch im Rahmen einer neuen Unterrichtskultur, gibt es heute bereits eine Reihe von beispielhaften neuen Werkzeugen und Medien.
Es sind Werkzeuge:
- zur Tabellenkalkulation,
- zum hypermedialen Schreiben und Präsentieren,
- zur Präsentation,
- zum Plotten von Funktionen,
- zur Modellbildung und Simulation,
- zur Entwicklung und Auswertung von Fragebögen
- zur explorativen Datenanalyse,
- zur Algebra mit dem Computer (CAS) und
- zur Kommunikation und Kooperation.
Es sind Hypermedien:
- auf CD-ROM und
- auf Bildungsservern im WWW
Neue Medien erhalten das Gütesiegel "beispielhaft", wenn mit ihnen ein nachhaltiges Lernen und die Qualität des Unterrichts unterstützt und gefördert werden kann.
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Experimentelle Mathematik
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Neue Werkzeuge machen mathematische Modelle „beweglich“ und erlauben multiple Perspektiven durch experimentelles Finden und Erproben von Lösungen.
Neue hypermediale Informationsdarstellungen unterstützen (qua ihrer Strukur) individuelle Lernwege und helfen, individuelle Wissensbasen zu konstruieren.
Die selbstorganisierte und selbstverantwortete immer wieder neue Umstrukturierung und Ergänzung von Wissen spielt also beim nachhaltigen Lernen eine zentrale Rolle, das bestätigen alle Untersuchungen zur Lernforschung. Man spricht auch vom Aufbau einer intelligenten Wissensbasis.
Manche dieser Neuen Medien und Werkzeuge eignen sich eher in der Modellierungsphase andere eher in der Systematisisierungsphase des Unterrichts. Eigenaktivität ist aber bei der Nutzung von Werkzeugen immer notwendig.
Hierzu zwei Beispiele, die dies verdeutlichen sollen:
Beispiel 1: Soll etwa die Frage geklärt werden, warum die Schere zwischen den Reichen und den Armen dieser Welt immer stärker auseinander klafft, so lässt sich dazu das Anwachsen eines sehr kleinen und eines schon recht großen Kapitals mit einer Tabellenkalkulation "programmieren". Das Programm gestattet dann Simulationen der unterschiedlichsten Art, deren Ergebnisse aber immer wieder neu in Anwendungskontexten zu interpretieren und zu bewerten sind.
Beispiel 2: Soll etwa die Frage geklärt werden, wie sich eine Epidemie (oder ein Gerücht) ausbreitet, so kann dazu mit einem Werkzeug zur Modellbildung zunächst ein Modell konstruiert werden. Dieses Modell kann dann unter unterschiedlichen Bedingungen "gefahren" werden, ohne Schaden anzurichten. Schließlich müssen die Simulationsergebnisse dann - immer wieder neu - auf unterschiedlichste Infektionsherde (Gerüchteküchen) hin interpretiert und bewertet werden.
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Werkzeuge in der Modellierungsphase
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Bei der mathematischen Modellierung bieten sich insbesondere die Werkzeuge Excel, (Dynasys), PowerSim und GrafStat an, je nachdem für welche Teilfrage sich die Schülerinnen und Schüler entschieden haben.
Excel und PowerSim sind sehr gut geeignet, um Fragen von "Was wäre, wenn ..." nachzugehen. Natürlich führen sie nicht zur Lösung des komplexen Problems, aber sie ermöglichen die Erkenntnis von Zusammenhängen und Wechselwirkungen.
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Werkzeuge in der Systematisierungsphase
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Soll nun aber etwa das Wissen über Wachstumsvorgänge lokal geordnet werden, so lässt sich etwa das lineare Wachstum getrennt von den anderen Wachstumsvorgängen untersuchen. Sodann lässt sich mit Funktionenplottern oder mit Computer-Algebra-Systemen (CAS) bei linearen Funktionen die abstrakte Bedeutung von Anstieg und y-Achsenabschnitt "experimentell" erarbeiten.
In der Systematisierungsphase sollte ein Computer-Algebra-System genutzt werden. Mit diesem Werkzeug sind Parameterdiskussionen möglich, es entsteht eine Graphenschar, die für weitere Anwendungen, also zum Einüben des Transfer (Flexibilisierung) des Gelernten, sehr wichtig ist. Um etwa für einen konkreten Fall eine konkrete Funktion zu finden, muss man z.B. viele Graphenverläufe kennen, um den richtigen Parameteransatz zu finden.
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Werkzeuge in der Anwendungsphase
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Eine Anwendung des Wissens in der Anwendungs- und Übephase auf mehrere andere (z.B. lineare) Sachverhalte, unter Nutzung von Plottern oder CAS, festigt das Wissen über abstrakte lineare Terme und lässt sie bedeutsamer werden. Üben wird hier verstanden als wiederholtes aktives Lernen und nicht als Bimsen. Auch auf das Üben trifft dann die Nachhaltigkeit des Lernens zu.
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