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Ideen zur
Vorbereitung |
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Im weiteren Text wird davon ausgegangen, dass sich alle Schülerinnen und Schüler der Klasse nur mit dem realen Problem "Brücken, Bögen, Arches" beschäftigen werden. Diese Auswahl hat die Lehrperson alleine oder nach einer Diskussion mit den Jugendlichen der Klasse getroffen. |
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Tipp:
Überblick über alle zum realen Problem aufbereiteten Seiten |
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In der sitemap zu "Brücken, Bögen und Arches" wird ein Überblick gegeben (a) über alle aufbereiteten Hilfen zur mathematischen Modellierung, (b) zum Einsatz von neuen Werkzeugen sowie (c) zur Selbstorganisation des Lernens.
Diese sitemap sollten Lehrpersonen bei ihrer Unterrichts-Vorbereitung einsehen. Denn so erkennen sie auch, worauf sie im Unterricht moderierend hinweisen können.
Die ergänzenden Informationen zum Sachverhalt (u.a. mit einer Bildgalerie und Fakten) sind ganz bewusst nicht immer in der Sprache der "SchülerInnen" formuliert. Hier wird der Alltag des Fernsehens und der Presse sowie der Wissenschaft gespiegelt. |
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Adressatengruppen,
die mit diesem realen Problem angesprochen werden |
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Mit dem realen Problem "Brücken, Bögen, Arches" können Schülerinnen und Schüler der Klassen (8), 9 bis 11 im Unterrichtsfach Mathematik aber auch in den Fächern Physik , Politik, Kunst und/oder Technik angesprochen werden. Es wird hier aber in realistischer Weise angenommen, dass das Projekt in Mathe durchgeführt wird.
Bei der Arbeit an "Problemlösungen zur Brückenkonstruktion" sollten die Schülerinnen und Schüler die lineare Funktion bereits kennen. Sie sollten z.B. wissen, dass der Term m · x lediglich Geraden mit unterschiedlicher Steigung erzeugt und keine gebogenen Graphen. Das Finden einer Funktionsgleichung für den "Kreis" setzt voraus, dass der Satz des Pythagoras bekannt ist.
In Klasse 12 sollte der Ableitungsbegriff bekannt sein, falls man dort das statische Problem behandeln will. |
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Gesellschaftsbezug und Kooperationsmöglichkeiten
mit anderen Fächern |
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Mit "Blicke auf eine Vielfalt von natürlichen und geschaffenen Bögen und Brücken" können Lehrpersonen - und auch Jugendliche - sehen, welche Probleme zur baulichen und architektonischen Gestaltung mit diesem Thema verbunden sind. Und: Brücken verbinden Menschen miteinander! Nicht notwendig, aber hilfreich, kann eine Kooperation mit den Fachlehrerinnen und Fachlehrern für Kunst, Physik, Politik und/oder Technik sein. |
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u.a. Bezüge zum Kunstunterricht |
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Warum
faszinieren uns die Arches, warum bezeichnen wir Brücken als elegant und warum nenen wir Bögen kunstvoll?
Die "Schönheit" kann in der/den Kleingruppe/n thematisiert werden, die sich mit einer Befragung beschäftigen. Als BeraterInnen bieten sich hier auch die FachlehrerInnen für Kunst oder vielleicht auch Eltern an.
Interessant ist eine Befragung von Großeltern, Eltern und Gleichaltrigen unter der Hypothese, dass das Schönheitsempfinden altersabhängig ist. Ist es auch länderspezifisch? |
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u.a. Bezüge zum Physik-, Technik und ggf. Biologieunterricht |
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Eltern und ebenso die PhysiklehrerIn können vielleicht als BeraterInnen für diejenigen Kleingruppen hinzugezogen werden, die sich u.a. mit statischen Fragen beschäftigen.
Eltern und ebenso die BiologielehrerIn können als BeraterInnen für diejenigen Kleingruppen hinzugezogen werden, die sich u.a. mit dem Prinzip "Pneu" beschäftigen.
Einige Ausschnitte aus den folgenden hochschuladäquaten Ausarbeitungen zu Stabtragwerken und Glossare zu Tragwerken können für Leistungsstarke (Leistungskurse Mathematik) von Interesse sein.
- http://www.flair-twl.de/download/GLOSSAR.pdf
- http://www.uni-stuttgart.de/ibs/Stabtragwerke_II.pdf
(142 Seiten, Ladezeit etwa 10 Minuten)
Natürlich gibt es auch für Bauingenieure Software-Werkzeuge. Unter der nachfolgenden Anschrift ist die Beschreibung des Produktes SOFiSTiK zu finden. Die Beschreibung enthält aber auch grafische Anregungen, die im Unterricht sinnvoll für Untersuchungen mit genutzt werden können. (http://www.sofistik.de/produkte_statik/ infoblaetter/Brueckenbau.pdf ) |
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Und was hat das alles mit Mathematik zu tun? |
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Wird dieses Problem im Mathematikunterricht behandelt, so steht die mathematische Modellierung im Zentrum. Je nach gewähltem Teilproblem kann folgende Mathe vorkommen:
ab Klasse (8) 9 bis 10
Abstraktion "ausgezeichneter" Wertepaare von konkreten Bögen, die zu diesem Zweck in ein geeignetes und geeichtes Koordinatensystem "gepaust" werden.
Auf der Grundlage der Wertetabellen werden "quadratische" Abhängigkeiten (Zuordnungs-Terme oder Funktionsgleichungen) experimentell und algebraisch bestimmt.
Excel und Derive können dabei als Werkzeuge sehr hilfreich sein.
Mittels der gefundenen Terme oder Funktionsgleichungen (für Parabel und Kreishälfte) werden Graphen ggf. Graphenscharen gezeichnet.
Tangentiale Polygonzüge entlang der Bögen werden zur Veranschaulichung der verschiedenen Richtungen und Größen der Zugkräfte entlang der Bögen als statische Begründung gezeichnet und simuliert; bei Polygonzügen entlang eines Kreises ändert sich zwar die Richtung der Kräfte nicht aber ihre unterschiedliche Größe.
Strebenlängen, Spannweiten, Bogenhöhen, Auflagepunkte, ...werden auf der Grundlage der gefundenen Teme berechnet; und ggf. werden auch quadratische Gleichungen gelöst.
Das Prinzip "Pneu" kann als ein evolutionäres Prinzip zur Materialoptimierung angesehen werden.
Hypothesen einer Befragung, Datenermittlung, Datenauswertung, Datenanalyse zur gesellschaftlichen und gestalterischen Bedeutung von Bögen und Brücken.
ab Klasse 11 wie zuvor und:
Ableitungen in Punkten, Ableitungsfunktion und seine statische Interpretation; |
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Ideen zur Durchführung der Modellierungsphase |
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Arbeitsteilige Kleingruppenarbeit an unterschiedlichen Fragen zum Problem |
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Die Jugendlichen können mit einer Bilddiskussion oder einem Bericht in das Thema einsteigen.
Nach einer kurzen Diskussion in der ganzen Klasse leiten die möglichen Fragen "Welche Formen evolviert die Natur und welche werden zu welchem Zweck gestaltet?" die SchülerInnen dazu an, sich auf der Grundlage ihrer Interessen für die Arbeit an einem der folgenden Fragebereiche zu entscheiden:
Die Entscheidung für einen Fragenbereich führt bereits zu einer Klein-Gruppenbildung. Weitere Entscheidungen darüber, welche der Analyse- oder Begründungs- oder Befragungsanforderungen ausgeführt werden sollen, führen dann zu einer endgültigen, arbeitsteiligen Kleingruppenarbeit in der Klasse.
Anmerkung: Die zuvor angegebenen Seiten können ausgedruckt werden, und wie Arbeitsblätter an die Kleingruppen verteilt werden. Erst dann, wenn die Jugendlichen im Internet recherchieren wollen oder sich mathematische Hilfen holen wollen oder auf dem Forum etwas austellen wollen, brauchen sie den Computer. |
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Mathematik als Erkenntnis-
und Berechnungsmittel |
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Bei der Beantwortung von Teilfragen zu diesem realen Problem ist die Mathematik zusammen mit der Physik sowohl ein Erkenntnismittel für die Ableitung von Kräften in den Boden als auch ein Mittel etwa von statischen "Berechnungen", also für ein stabiles System.
Weiterführende Literatur: Gruner, A.; Jahnke, H.N.: Parabelbrücken als Thema eines anwendungsorientierten Mathematikunterrichts, in: JMD 22 (2001)
Schmidt, G.: Brücken - eine Brücke zwischen Mathematik und Welt, in: Mathematik lehren (80), 1997
Weidig, I.: Bogenbrücken - ein Beipsiel zu Parabeln in der Technik, in: Mathematik lehren (37), 1989 |
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Mögliche Klippen im Unterricht |
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In der didaktischen Literatur wird darauf aufmerksam gemacht, dass die Mathematik bei diesem Thema im Unterricht leicht darin stecken bleibt, die Funktionsgleichungen von Bögen zu bestimmen, wie es mit einem Modul der Klett Mediothek "Mathematik Algebra" möglich ist. Auch die Anregungen in "Abakus Schülerband Angewandte Mathematik 9/10, Schöningh-Verlag" gehen nicht darüber hinaus. Es kommt also in der Regel nicht zu weiteren Aufklärungen darüber, weshalb gerade die Parabel für die Statik der Brücken bedeutsam ist. Die Suche nach den Gleichungen sollte experimentell [etwa mit Excel (oder Derive)] angegangen werden. Der statischen Bedeutsamkeit kann dann mit dem Prinzip "Pneu" und mit einem Polygonzug entlang der Parabel in erster Näherung nachgegangen werden. |
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Die Rolle der
Mathe-LehererIn |
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Während der Vorbereitung und auch in der Modellierungsphase übernimmt die Mathematiklehrerin und der Mathematiklehrer in der Regel die Rolle eines kompetenten Laien. |
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Recherchen im Internet |
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Recherchen im Internet sollten nicht ganz unterbunden werden. Wohl aber eingeschränkt werden. Es gibt kommentierte Links ins Internet.
Bei der Bearbeitung des realen Problems geht es außerdem vornehmlich um Mathematik und nicht um das medienpädagogische Ziel, im Internet recherchieren zu lernen. Dieses Ziel kann mit angesprochen werden, ist aber nicht zentral. |
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Formulierung der Ergebnisse
und Präsentation der Ergebnisse |
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Hierzu gibt es auf der Eingangsseite in das reale Problem Hinweise für Schülerinnen und Schüler.
Für Lehrpersonen kann es hilfreich sein, diese bei der Vorbereitung des Unterrichts zur Kenntnis zu nehmen. Denn die Texte können ausgedruckt werden und als Arbeitshilfe an die Jugendlichen verteilt werden.
Die Präsentationen der Schülerinnen und Schüler haben zwei Funktionen: Zum ersten können die Jugendlichen erleben, dass alle Präsentationen zusammen das reale Problem umfassender "lösen". Teamarbeit hatte also einen Sinn. |
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Systematisierung |
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Zum Zweiten bilden die Präsentationen den Einstieg in die (der Modellierungsphase folgende) Systematisierung der "erfundenen" oder genutzten Mathe.
In der Regel helfen die "mathematischen Hilfen" bei der Systematisierung.
Sie schließt sich immer an, wohingegen eine internationale Kommunikation eine weitere Möglichkeit im Herbst eines jeden Jahres bedeuten kann.
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Eine Internationale Kommunikation und Kooperation zum Thema ist eine weitere Möglichkeit |
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Das reale Problem ist so aufbereitet, dass es umfassender durch Arbeitsteilung gelöst werden kann.
Die Lern- und Arbeitsumgebung stellt zu diesem Zweck auch ein Forum und eine Galerie zur Verfügung, die ebenfalls für kooperatives Arbeiten genutzt werden können.
Eine internationale Verständigung ist von der Sache her sinnvoll und nicht aufgesetzt. Siehe dazu die Hinweise für Schülerinnen und Schüler.
Für Lehrpersonen kann es hilfreich sein, diese bei der Vorbereitung des Unterrichts zur Kenntnis zu nehmen. Denn auch diese Texte können ausgedruckt und ggf. ausgehangen werden. |
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Nebeneffekte:
Neue Ziele mit neuen Medien |
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Ausführungen zu "Neuen Zielen mit neuen Medien" sind in den Lern- und Arbeitsumgebungen "Schule gestalten" und "Lernen mit Neuen Medien" zu finden.
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Die Patinnen und Paten dieser Arbeitsumgebung bitten alle Kolleginnen und Kollegen um Ergänzungen oder Erprobungsberichte.
Für Rückmeldungen kann neben einer "Papierform" auch das offene Forum "Kooperation zwischen Lehrpersonen" oder das geschlossene Forum "Didaktische Fragen zum Mathe-Unterricht" dieser Arbeitsumgebung genutzt werden. |
