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Was vor der Systematisierung
im Unterricht
(oder auch zu Hause)
erarbeitet worden sein sollte! |
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In Partner- oder Kleingruppen haben die Schülerinnen und Schüler einer Klasse - orientiert an ihren Interessen - Fragen zu realen Problemen mathematisch modelliert und dabei ihre subjektive Antwort gefunden. Sie haben Zusammenhänge, Abhängigkeiten, Wechselwirkungen oder Beziehungen erkannt, "versprachlicht", arbeitsteilig zu "Papier gebracht" und ggf. auf dem Forum oder in der Galerie veröffentlicht.
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In der Modellierungphase konstruieren die Kleingruppen ihr gruppenspezifisches Wissen. |
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Während der Modellierung haben die Kleingruppen also ihr gruppenspezifisches mathematisches Wissen konstruiert. Auf die Klasse bezogen entsteht in dieser Phase ein verteiltes Wissen, dass in allen Kleingruppen ein anderes Wissen ist. |
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Die Präsentation hat erstens das Ziel, aktive Zuhörer zu schaffen, um so gemeinsames Wissen zu erzeugen.
Das Gruppenpuzzle
ist in besonderer Weise
dazu geeignet, gemeinsames Wissen zu konstruieren.
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Gemeinsames Wissen (mit Wissen werden hier Kenntnisse, Fähigkeiten, Einstellungen und Werthaltungen gemeint) wird dadurch konstruierend erzeugt, dass die subjektiven "Lösungen" in der Klasse und ggf. auf den Foren vorgetragen, ausgestellt und diskutiert werden.
Elemente der Präsentation in der Klasse können sein:
- ein mündlicher Vortrag,
- eine Multimediapräsentation (z.B. mit „PowerPoint“),
- eine Plakatausstellung und/oder
- ein Handout (mit Gliederung, Schlüsselbegriffen, Definitionen und Zusammenfassungen).
Alle Jugendlichen der Klasse müssen aber an der Präsentation aktiv teilnehmen können, sonst wird es keine gemeinsames Wissen geben. Um die aktive Teilnahme zu erhöhen, gibt es z.B. den Markt der Möglichkeiten oder das Gruppenpuzzle. |
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Die Präsentation hat zweitens das Ziel, in eine Systematisierung der mathematischen Sprache einzuführen. |
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Die Jugendlichen "erfinden" bei ihrer Problemlösung zum Teil ihre eigene mathematische Beschreibung. Diese ist naturgegeben in einer "Sprachform", die noch nicht der formalen Sprache der Mathematik entspricht. Die präsentierten "Versprachlichungen" werden daher unter der Fragestellung "Was ist das Gemeinsame?" miteinander verglichen.
Lehrerinnen und Lehrer lenken in dieser Lern-Phase den Blick auf so etwas wie: Wertetabellen, Paarmengen, Rechenvorschriften, Zuordnungen, Terme, Gleichungen, Funktionsgleichungen, Grafen, Eigenschaften von Grafen, statistische Mittel usw.
Bei den Schülerinnen und Schülern soll auf diese Weise ein Entdeckungsprozess inszeniert werden, der zu mathematischen Abstraktionen und Formalisierungen führt. Naturgemäß sind die dabei gewonnenen Abstraktionen Leerformen. Sie abstrahieren vom konkreten Inhalt und suchen das formal Gleiche. So ensteht mit jedem neuen realen Problem die Mathematik in den "Köpfen" der Lernenden als eine Metasprache mit eigenen Gesetzmäßigkeiten, die aber zur Beschreibung vieler unterschiedlicher Inhalte und Sachverhalte genutzt werden kann. |
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Die systematisierte, athematische Beschreibungssprache
wird in mathematische Ordnungsbereiche
eingeordnet und aufbereitet. |
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Die Arbeit der Jugendlichen an unterschiedlichen Fragen führt sie zu ähnlichen mathematischen "Sprachmustern", die systematisiert und formalisiert in mathematische Ordnungsbereiche eingegliedert und aufbereitet werden können. Dabei vertieft sich mit und mit ihr Wissen über Größen und Diagramme und Funktionenklassen und statistische Mittel sowie über Systemdynamiken. |
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Das wissenschaftliche System "Mathematik"
entwickelt sich so von einer Ordnungsphase zur anderen. |
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Von einer Systematisierungs- oder Ordnungsphase zur anderen, also nach und nach, entsteht die Mathematik als ein wissenschaftliches System, welches mit der Zeit immer mächtiger wird. Die Mathematik wird also nicht als wissenschaftlich "fertiges" System "vorgetragen", sondern sie entwickelt sich "genetisch" nach und nach. Natürlich kann dann diese systematisierte Mathematik bei der Arbeit an einem weiteren realen Problem auch genutzt oder angewandt werden.
Lerntheoretisch bedeutet diese Systematisierung, dass "dieselbe Mathematik" von verschiedenen realen Sachverhalten abstrahiert werden kann. Und diese Abstraktionsprozesse fördern den kritischen Vernunftgebrauch der Jugendlichen. Das Besondere ist dies: Die gelernte "Logik" wird allgemeiner und bleibt nicht der Mathematik immanent. So ist zu hoffen, dass ein späterer Transfer von Mathematik auf unterschiedliche reale Situationen gelingt. |
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Im Prozess des Systematisierens erfolgen auch
inner-mathematische Problematisierungen |
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In der Phase des lokalen Ordnens kommen hin und wieder auch innermathematische Problematisierungen vor.
So können die Jugendlichen erkennen, wie sich die Mathematik als "reine", eigenständige Wissenschaft entwickelt. |
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Die Lern- und Präsentationsmethode des Gruppenpuzzles |
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Kleingruppenarbeit an unterschiedlichen Themen |
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Die Lern- und Präsentationsmethode des Gruppenpuzzles wird heute noch wenig genutzt. Sie wird hier modellhaft und idealisiert an einer Klasse skizziert, die aus 12 Jugendlichen besteht. Das so skizzierte Modell kann aber angemessen auf andere Gruppengrößen übertragen werden.
Nehmen wir an, dass in der Modellierungsphase in drei Vierer-Kleingruppen an den drei unterschiedlichen Themen A, B und C (bzw. Fragen) gearbeitet worden ist. |
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Die Gruppenarbeit führt zu Experten/innen für unterschiedliche Themen |
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Nehmen wir weiter an, dass sich während der Kleingruppenarbeit und insbesondere auch während der Erstellung des Schriftproduktes jeder Jugendliche zu "Experten/innen" für A oder B oder C ausgebildet hat und kein Jugendlicher nur einfach nur so mitgelaufen ist. Dann werden für die Präsentation neue Kleingruppen so gebildet, dass in jeder neuen Kleingruppe mindestens jeweils ein/e Experte/in für A und B und C ist. |
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Jeder Jugendliche in den neu gebildeten Kleingruppen ist jetzt als Experte/in gefordert. Denn die Experten/innen übernehmen nun nacheinander die Präsentationsarbeit in den Kleingruppen. |
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Markt der Möglichkeiten |
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Ein Markt der Möglichkeiten und eine Besprechung der Kleingruppen-Produkte in der Klasse ist einerseits zur Verstärkung und andererseits zum Übergang in das lokale Ordnen sinnvoll. |
