Darstellung einer möglichen Lösungsidee

Hinweis: Die Bearbeitung der Aufgaben zu "Analysen u.a. zum Einkommen" ist Teil einer Gesamtlösung von arbeitsteilig arbeitenden Gruppen.

Beschreibung der erwerbaren inhaltlichen und allgemeinen mathematischen Kompetenzen bei der Arbeit an den folgenden Aufgaben

Die folgende Lösung zu Analysen zum Einkommen in unterschiedlichen gesellschaftlichen Gruppen kann in einer Teilgruppe der Klasse erarbeitet werden. Sie ist Teil einer Gesamtlösung, bei der andere Gruppen der Klasse auch noch parallel arbeiten an Analysen zu Armut und Reichtum in unserer Gesellschaft und Analysen u.a. zu Schichtungen in der Gesellschaft und zu möglichen Trendwenden in der Armut. Nach der Präsentation der Gruppenlösungen in der Klasse werden gemeinsam Folgerungen erarbeitet und diskutiert, die auch das Verhalten von Menschen mit einbeziehen.

Für die Erarbeitung der nachfolgenden Lösung und deren Formulierung sind etwa 3 - 4 Schulstunden notwendig, wenn das Werkzeug Excel bekannt ist und Teile dieser Arbeiten auch als Hausarbeit angefertigt werden. Für die Besprechung aller Analysen in der Klasse sind dann noch einmal ca. 2 Schulstunden notwendig.

Beschreibt die Entwicklung der Einkommen in unterschiedlichen Gesellschaftsgruppen durch Funktionsgleichungen oder findet Terme, die ggf. nur stückweise die Zusammenhänge beschreiben.

Vergleicht u.a. die "Zunahmen" der Einkommens-Entwicklungen miteinander und beschreibt eure Einsichten.

Wir stellen die Einkommensentwicklung in den alten Bundesländern (alte) von 1950 bis 1995 und in allen Bundesländern (gesamt) sowie vergleichend in den neuen Bundesländern (neuen) von 1996 bis 2005 in Punktdiagrammen dar.
Die Entwicklungen in den alten Bundesländern approximieren wir experimentierend mit einer quadratischen und einer exponentiellen Trendlinie, wobei die folgende quadratische sehr gut passt.

y (alte) = 0,8041x² + 10,435x + 106,11
≈ y (alte) = 0,8x² + 10,4x + 106
Definitionsbereich: von 1950 bis 1995

siehe: ExelDateien/mappe1236a.htm
oder: ExelDateien/mappe1236a.xls

Die vergleichenden Entwicklungen in den neuen und alten Bundesländern approximieren wir daher ebenfalls mit quadratischen Trendlinien wie folgt:

y (alte) = -0,9766x2 + 65,984x + 1888,8 ≈ -1x² + 66x + 1889
y (neue) = -1,4296x2 + 65,818x + 1298,7 ≈ -1,4x² + 66x + 1299
Definitionsbereich: nach Jahren von 1991 ab bis 2005

siehe: ExelDateien/mappe1236b.htm
oder: ExelDateien/mappe1236b.xls

Unter der Annahme, dass die Trendfunktionen stetig definiert sind (was eigentlich nicht der Fall ist), können die Ableitungsfunktionen von y(alte) und y(neue) gebildet werden. Sie lauten:

y'(alte) = -2x + 66 und y'(neue) = -2,8x + 66

Diese Ableitungsfunktionen machen eine Aussage über die Anstiege etwa bei x =14 (also nach 14 Jahren). Sie lauten:

y'(alte; 14) = -2·14 + 66 = 38
y'(neue; 14) = -2,8·14 + 66 ≈ 27

Da die Entwicklung in den neuen Bundesländern mit einem Anstieg von 27 und in den alten Bundesländern mit einem Anstieg von 38 nach 14 Jahren verläuft, lässt sich folgern, dass die Einkommensentwicklungen immer weiter auseinander laufen. Die Einkommen in den neuen Bundesländern können nicht ohne arbeitsmarkt-politische Entscheidungen an die der alten Bundesländern angeglichen werden. Die Zunahme der Verdienste in den Neuen Bundesländern muss für eine Zeit ganz bewusst höher sein als in den Alten Bundesländern, wenn in naher Zukunft alle Arbeiter/innen im produzierenden Gewerbe dasselbe verdienen sollen.

Berechnet u.a. für die Entwicklung der Einkommen den jährlichen Zuwachs als Indexzahl,
(a) indem ihr ein von euch gewähltes Jahr gleich 100% setzt und
(b) indem ihr die Indexzahl immer auf das Vorjahr bezieht.

Erstellt passende Diagramme zu den Indexzahlen, um die Entwicklung der Einkommen darzustellen.

Wir berechnen die Entwicklung der Einkommen ab 1991 in zweifacher Weise als Indexzahlen und stellen sie in Balkendiagrammen dar.
In den ersten drei Jahren nach der Wende steigen die Einkommen in den Neuen Bundesländern (viel) stärker als in den Alten Bundesländern. Dann aber sind die Anstiege nahezu gleich.

siehe: ExelDateien/mappe1236c.htm
oder: ExelDateien/mappe1236c.xls

Zum Vergleich stellen wir die Entwicklung der Einkommen ab 1991 auch noch einmal als Punktdiagramme dar, approximieren sie, wie oben bereits geschehen, mit quadratischen Trendlinien und berechnen die Anstiege der Einkommen in den einzelnen Jahren mittels der Ableitungsfunktionen der quadratischen Trendlinien.

siehe: ExelDateien/mappe1236bb.htm
oder: ExelDateien/mappe1236bb.xls

Vergleichen wir die verschiedenen Darstellungen, so sagen sie zunächst übereinstimmend, dass die Einkommensentwicklung in den Neuen Bundesländern sich nicht an die der alten Bundesländern angleichen wird, wenn nicht arbeitsmarkt-politische Entscheidungen getroffen werden.
Denn die Anstiege der Ableitungsfunktion der neuen Länder bleiben ständig unter denen der alten Länder.
Anmerkung: Die Funktionsgleichungen der Trendlinien in den Punktdiagrammen gehen davon aus, dass die Funktionen stetig definiert sind. Anderenfalls könnte keine Ableitungsfunktion gebildet werden. Die Ableitungsfunktionen müssen also wieder als Trendaussagen wahrgenommen werden.

In der medialen Realität (in Zeitungen und Zeitschriften sowie im Fernsehen) wird mit Indexzahlen über Zu- und Abnahmen von Entwicklungen berichtet. Die Indexzahlen machen das jährliche Auf und Ab der Entwicklungen mit. Die Ableitungsfunktion könnte suggerieren, dass es ständig berauf geht. Dass sich die Anstiege der Einkommen sowohl in den neuen wie in den alten Bundesländern abflachen, wird schnell übersehen.