am Beispiel
des realen Problems

"Fast food - big body ! Oder: Gibt es
Alternativen ? "

in einer
(8.) / 9. / 10. Klasse

Beschreibung des Unterrichtsverlaufs

1. UStd:
Diskussionen zum realen Problem sowie Wahrnehmung der Sachinformationen zum realen Problem (in der Klasse und dann in spontan gebildeten Kleingruppen)

2. UStd:
Entwicklung von Fragen durch Diskussionen des realen Problems;
Sammlung der Fragen, die Schülerinnen und Schüler bearbeiten möchten;
Entscheidung der Schülerinnen und Schüler für die Bearbeitung eines Fragenbereiches;
Bildung von "interessengleichen" Kleingruppen auf der Basis der Entscheidungen

3. bis 6. UStd:
Mathematische Modellierungsarbeiten an den selbst gewählten Fragen in "interessengleichen" Kleingruppen;
sachangemessene und kontextbezogene Interpretation der Ergebnisse der mathematischen Modellierung;
Erstellung einer Präsentation

7. und 8. UStd:
Präsentation der Kleingruppen-Ergebnisse in der Klasse und Diskussion der Ergebnisse im Sachzusammenhang des realen Problems

9. und 10. UStd:
Systematisierung der zur Modellierung genutzten Mathematik;
in diesem Fall Einführung in die elementaren Verfahren zur beschreibenden Statistik

11. und weitere UStd:
Übungen und Anwendungen der Verfahren der beschreibenden Statistik in anderen Wirklichkeits-Kontexten

1. Setzt die in der Klasse begonnene Diskussion in spontan gebildeten Kleingruppen fort und notiert das für euch Wichtige. Lasst euch in euren Diskussionen unterstützen:
   a) durch eine mögliche Bild-Diskussionen oder
   b) durch eine Auswahl an Zeitungsnotizen oder
   c) durch weitere "Blicke" auf die Problematik von Schönheit und Essgewohnheit, Diät und Sport sowie das "richtige" Gewicht
2. Legt ein Projektheft (eine Projektmappe) an, in dem ihr alle benutzen "Arbeitsblätter" abheftet und alle weiteren Ergebnisse aufschreibt. Notiert immer wieder auch, was euch insbesondere betroffen macht, was euch gefallen und nicht gefallen hat sowie das, was euch Schwierigkeiten im Verständnis bereitet hat.

Die Seiten (Bilddiskussion oder ... oder Blicke auf ...) können als "Arbeitsblätter" ausgedruckt werden. Schülerinnen und Schüler können dann das für sie Wichtige unterstreichen oder hervorheben. Die Seiten können aber auch am Computer gelesen werden. Dann erfolgen die Notizen im Projektheft oder in den von den Jugendlichen selbst ausgedruckten Seiten. Auf diese Weise können und sollen die persönlichen Interessen zur Bearbeitung einer bestimmten Frage geweckt werden.
Diese Eingangdiskussion sollte in jedem Fall stattfinden, damit
erstens die späteren mathematischen Modellierungsarbeiten im Problemkontext interpretiert und
zweitens auch die Diskussionen nach den Kleingruppen-Präsentationen durch die Jugendlichen in einem Problemzusammenhang geführt werden können.

Die Formalisierungen zu den elementaren Verfahren der beschreibenden Statistik erfolgen erst in der neunten Unterrichtsstunde. Das ist für Mathe-Lehrpersonen ungewohnt !!! Aber: Die Systematisierungen erfolgen dann so, dass zuvor bereits Diagramme und Maße selbstreguliert bei der Modellierung genutzt worden sind. Vor der Systematisierung haben Schülerinnen und Schüler also bereits die Erfahrung gemacht, dass diese Darstellungsformen einen Zweck haben. Nämlich: Sie dienen dem Erkenntnisgewinn in realen Zusammenhängen, der handlungsleitende (emanzipatorische) Ziele verfolgt.
Die "Anwendungssituation" dient also nicht nur dazu (wie es häufig in Schulbüchern geschieht) für eine kurze Zeit zu motivieren.

In den Kleingruppen, die sich spontan in der ersten Unterrichtsstunde gebildet haben, wird die begonnene Diskussion für etwa 25 Minuten fortgesetzt, etwa mit dem Arbeitsauftrag:

• Diskutiert miteinander, welche Fragen sich für euch bei diesem realen Problem ergeben und schreibt dann die Fragen auf, die euch ganz persönlich interessieren. Lasst euch unterstützen durch die Seite: "Schönheitsideale und Ess-Gewohnheiten ändern sich? Das "richtige" Körpergewicht zur "richtigen" Körpergröße? Figur durch Sport? ..?"

• Analysen zurÄnderung der Schönheitsideale, der Idealgewichte und der Ess-Gewohnheiten,
• Analysen zu statistischen Zusammenhängen von Körpergröße und Körpergewicht,
• Analysen zu funktionalen Zusammenhängen von Körpergröße und Körpergewicht,
• Messreihe zur Körpergröße und deren statistische Auswertung,
• Messreihe zum Körpergewicht und deren statistische Auswertung,
• Auswertungen zu Zusammenhängen von Körpergröße und Körpergewicht.

Denn diese Analysen oder Messreihen geben in der später folgenden Systematisierungsphase den Anlass, die elementaren Verfahren der beschreibenden Statistik zu formalisieren. Hier ist also ggf. Beratungsaufwand durch die Lehrperson notwendig. Aber es ist wahrscheinlich möglich, den Jugendlichen verständlich zu machen,

• dass die "Analyse, Konstruktion und Simulation des Energiehaushaltes im menschlichen Körper" ggf. für höhere Jahrgänge gedacht ist oder einen hohen Schwierigkeitsgrad besitzt.

Werden aber in einer Kleingruppe Analysen zum Energiehaushalt durchgeführt, so sind sie in der Präsentationsphase sehr willkommen, da dann die Komplexität des realen Problems noch deutlicher wird.

1. Arbeitet in den nächsten vier Mathe-Stunden und auch Zuhause selbstreguliert (eigenaktiv, selbstständig, selbstorganisiert und selbstverantwortet) an den Fragen, für die ihr euch entschieden habt. Passende Arbeits-Anforderungen findet ihr unter:
   KG1: Analysen zur Änderung der Schönheitsideale, der Idealgewichte und der Ess-Gewohnheiten,
   KG 2: Analysen zu statistischen Zusammenhängen von Körpergröße und Körpergewicht,
   KG 3: Analysen zu funktionalen Zusammenhängen von Körpergröße und Körpergewicht,
   KG 4: Messreihe zur Körpergröße und deren statistische Auswertung,
   KG 5: Messreihe zum Körpergewicht und deren statistische Auswertung,
   KG 6: Auswertungen zu Zusammenhängen von Körpergröße und Körpergewicht.
2. Auf den Seiten, auf denen ihr die Arbeits-Anforderungen findet, findet ihr auch mathematische Hilfen (in der rechten Spalte der Seite) und Hilfen zum Sachverhalt (eingebaut in die Anforderungen).
3. Ich werde euch bei eurer Arbeit beobachten (und ggf. bewerten, wie ihr euch in euren Kleingruppen gegenseitig helft und wie ihr miteinander kommuniziert und kooperiert). Wenn ihr aber nach einer eingehenden Beratung in eurer Kleingruppe mit eurer Arbeit nicht mehr weiter kommt, so berate ich euch auf Anfrage hin.
4. Stellt eure Modellierungsergebnisse (Arbeitsergebnisse) in euren Projektheften dar. Nutzt dabei die euch bisher bekannte Mathe, (er)findet aber auch neue hinzu.
5. Interpretiert die Ergebnisse sachangemessen im Kontext der gesellschaftlich, bedeutungsvollen Probleme von Über- und Untergewicht sowie zum Energiehaushalt eines menschlichen Körpers und schreibt sie auf.
6. Erstellt in eurer Kleingruppe eine Präsentation sowohl für die Modellierungsergebnisse als auch für die Interpretation. Hilfen findet ihr unter "Anregungen zur Präsentation der Arbeitsergebnisse" auf der Eingangsseite des realen Problems.

• dass sie ihre Arbeit selbst organisieren und selbst verantworten (begründen) können,
• dass sie eine ansprechende Präsentation erarbeiten und dann auch halten können (eine Präsentation, die ggf. auch in der Klasse ausgehangen werden kann),
• dass sie Kommunikations- und Kooperationsregeln einhalten können (das ist eine Grundlage der Teamfähigkeit).

Werden die prozessorientieren (oder allgemeinen) mathematischen Kompetenzen bewertet, so sollten die Jugendlichen dies vor ihrer Arbeit wissen.
An dieser Stelle sei darauf verwiesen, dass prozessorientierte Kompetenzen nur in einem komplexeren Arbeits- oder Lern-Prozess angebahnt und gelernt werden können. Diese Kompetenzen lassen sich kaum didaktisch kleinschreiben.
Wahrscheinlich muss die Lehrperson aber schon ab dem Ende der zweiten selbstregulierten Arbeitsstunde immer wieder darauf hinweisen, dass eine Präsentation vor der Klasse zu halten ist. Und dass die Arbeiten nach der vierten selbstregulierten Arbeitsstunde beendet sein müssen.
Soll diese Präsentation von der Lehrperson bewertet werden, so muss auch dies vorher mitgeteilt werden.
Während der Modellierungsphase übernimmt die Mathematiklehrerin bwz. der Mathematiklehrer in Sachfragen in der Regel die Rolle eines kompetenten Laien.

1. Jede Kleingruppe stellt ihre Arbeitsergebnisse vor der Klasse so vor, dass alle anderen in der Klasse sie auch verstehen und nachvollziehen können. Also: Lasst immer genügend Zeit, damit die Anderen sich auch Notizen in ihrem Projektheft machen können. Hetzt nicht durch euren Vortrag.
2. (Ggf.: Ich habe vor, die Präsentation zu bewerten.)
3. Jede Kleingruppe beleuchtet in ihrem Vortrag das Problem von Über- und Untergewicht (oder ggf. das des Energiehaushaltes in einem menschlichen Körper) unter einem anderen Gesichtspunkt. Alle diese Blickrichtungen hängen aber, wie wir in der Eingangsdiskussion des Problems bereits festgestellt haben, irgendwie miteinander zusammen. Und genau das wollen wir gemeinsam diskutieren, nachdem alle Vorträge gehalten worden sind. So wollen wir erreichen, dass es nicht bei der Summe (Addition) der Einzelbeiträge bleibt, sondern die Diskussion ein neues Ganzes erwirkt.
4. In einem abschließenden Gespräch wollen wir auch noch gemeinsam klären,
   a) wie kritisch die Definitionen zum Übergewicht zu betrachten sind und
   b) welchen Wert eine arbeitsteilige Arbeit innerhalb eines Teams hat.

Auch das Präsentieren-Können ist eine wichtige prozessorientierte (allgemeine) mathematische Kompetenz.
Die Jugendlichen sollen/sollten durch die Gesamtheit der Präsentationen zur Erkenntnis von Zusammenhängen gelangen, deren Bewertungen für ihr eigenes gesellschaftliches Handeln bedeutungsvoll sein können (emanzipatorische Kompetenzen!). Sie können die mathematische Modellierung als eine Erkenntnishilfe zur Bewertung des Problems erleben. Mathe bekommt einen anderen Sinn als nur und lediglich ihren Selbstzweck.
Alle Kleingruppen können bei den Präsentationen erleben, wie die Modellierung ihres Teilbereiches in eine vollständigere Modellierung des realen Problems eingebettet ist.
Die Jugendlichen können so erleben, dass arbeitsteilige Teamarbeit produktiv ist und keine „Zeit“ verschwendet.
Nach diesen 3 Wochen (bei drei Mathestunden pro Woche) sollte in der Regel keine Klassenarbeit geschrieben werden. Zu Beginn der projektorientierten Unterrichtsphase sollte mit den Jugendlichen vereinbart werden, was zur Leistungsbewertung am Ende herangezogen wird (z.B. die Projektmappe, die Präsentation, die Beobachtungen zum Arbeits- und Sozialverhalten ...). Soll aber eine Klassenarbeit geschrieben werden, dann bieten sich nur Aufgaben an, die auch das zuvor Gelernte abprüfen. Solche Anforderungen sind bei jedem aufbereiteten realen Problem unter "Befragung ...." zu finden.

Die Lehrerin oder der Lehrer lenkt nun den Blick der Schülerinnen und Schüler:

• auf die Präsentationen der Schülerinnen und Schüler der
  KG 2: Analysen zu statistischen Zusammenhängen von Körpergröße und Körpergewicht,
  KG 4: Messreihe zur Körpergröße und deren statistische Auswertung,
  KG 5: Messreihe zur Körpergewicht und deren statistische Auswertung.

In fragend-entwickelnder Form werden dann an den Präsentationen die folgende Besonderheiten herausgearbeitet:

• eine Urliste lässt sich in eine Rangwertliste verwandeln,
• die Häufigkeit eines Merkmals (etwa: die Körpergröße) innerhalb einer Population (etwa bei den Jungen) lässt sich in einem Häufigkeitsdiagramm in Form eines Balkendiagramms darstellen,
• die Lage-Maße "arithmetisches Mittel", "Median", "oberes und unteres Quartil" sowie die Streumaße lassen sich zum Vergleich von Populationen (hier von Jungen und Mädchen) verwenden,
• Box-plots veranschaulichen zum Beispiel die Maße und vedeutlichen so einen Vergleich von Populationen.

Schon mit den elementaren Verfahren der beschreibenden Statistik lassen sich häufig Vorurteile (Jungen sind immer größer und schwerer als Mädchen) über eine bestimmte gesellschaftliche Gruppe beseitigen.

Der folgende Unterricht wird fragend-entwickelnd geführt. Entweder kann jetzt das eingeführte Schulbuch genutzt werden oder es können die folgenden Ausarbeitungen genutzt werden:

• Grundbegriffe (Stichproben, Merkmale, Merkmalsausprägung, Skalen)
• Darstellen von Daten in Listen und Tabellen (Strichlisten, Urlisten, Rangwertlisten, Häufigkeitstabellen)
• Darstellen von Daten in Diagrammen (Balken-, Kreis-, Linien- und Netzdiagramme)
• Deuten von Daten durch Lagemaße (Median, arithmetisches Mittel, Quartile, Percentile)
• Deuten von Daten durch Streumaße (Spannweite, Quartilsabstand, Box-Plots, empirische Varianz, Standardabweichung)

Eine Übersicht über die Bündelung aller mathematischen Hilfen zur beschreibenden Statistik siehe:

• Beschreibende Statistik: Datengewinnung, -aufbereitung und -analyse

Für die notwendigen weiteren Anwendungen der elementaren Verfahren der beschreibenden Statistik wird verwiesen auf:

• Warum müssen wir das lernen? - Liste von realen Problem, die sich mit beschreibender Statistik modellieren lassen
• Beschreibung von möglichen Unterrichtsverläufen
  zur Anwendung und Einführung der Korrelationsanalyse